فایل ورد کامل تحقیق بررسی مسائل مقدار مرزی ۲۱ صفحه در word

بطورکلی یک مسأله مقدار مرزی بصورت زیر می باشد :

(۱-۱)
که در آن L یک عملگر دیفرانسیلی مرتبه m ام ، r یک تابع مفروض و شرایط مرزی می باشند . فرض کنید x یک متغیر مستقل برای مسأله مقدار مرزی باشد و شرایط مرزی در دو نقطه (مرزها) باشد بنابراین رابطه
(۱-۱) را می توانیم به فرم خطی زیر نیز بنویسیم :

(۱-۲)
برای ، k تا شرط مرزی مستقل خطی که تنها شامل مشتقات تا مرتبه (q-1)ام می باشند را شرایط مرزی essential (اساسی) می گوئیم . و ( ) شرط باقیمانده را شرایط مرزی Suppressible می نامیم . ساده ترین مسأله مقدار مرزی که با معادله دیفرانسیل مرتبه دوم می باشد بصورت زیر است :
(۱-۳)
با یکی از سه نوع شرایط مرزی که در زیر داده شده اند :
شرایط مرزی نوع اول
شرایط مرزی نوع دوم
شرایط مرزی نوع سوم که گاهی شرایط مرزی Sturm”s نامیده می شود :

بطوریکه و و و ثابتهای مثبت می باشند .
اگر در رابطه (۱-۱) ، معادله دیفرانسیل همگن نامیده می شود و همچنین بطور مشابه اگر در رابطه (۱-۲) ها آنگاه شرایط مرزی همگن نامیده می شوند .
بنابراین مسأله مقدار مرزی همگن نامیده می شود اگر معادله دیفرانسیل و شرایط مرزی همگن باشند یک مسأله مقدار مرزی همگن ( و ) تنها دارای جواب بدیهی می باشد .
بنابراین ما آن دسته از مسائل مقدار مرزی را در نظر می گیریم که اگر یک پارامتر را در معادله دیفرانسیل یا در شرایط مرزی اثر دهیم بتوانیم آن را مشخص کنیم (به این ‌ها مقادیر ویژه گفته می شود) در این صورت مسأله مقدار مرزی جواب غیربدیهی دارد و به این جوابها توابع ویژه می گوئیم .
در مسائل مقدار مرزی ثابتهای دلخواه در جواب از روی شرایط مرزی که در بیشتر از یک نقطه باشند بدست می آید . بنابراین امکان دارد که بیشتر از یک جواب داشته باشیم یا هیچ جوابی نداشته باشیم .
قضیه (۱-۱-۱) : مسأله مقدار مرزی زیر را در نظر بگیرید :

و فرض کنید که f در ناحیه R پیوسته می باشد .
,
همچنین f در شرط لیپ شیتز صدق می کند یعنی :

برای هر
در مجموع فرض کنید f در ناحیه R در شرایط زیر صدق می کند :

( ثابت) و همچنین برای شرایط مرزی مسأله فرض کنید :

آنگاه مسأله مقدار مرزی (BVP) داده شده یک جواب منحصر بفرد دارد . [۲]

۱-۲-وجود و یکتایی جواب مسائل مقدار مرزی :
مسأله مقدار مرزی زیر را در نظر بگیرید :