پاورپوینت کامل درس ریاضی فیریک ۱ ۴۴۴ اسلاید در PowerPoint

توجه : این فایل به صورت فایل power point (پاور پوینت) ارائه میگردد

 پاورپوینت کامل درس ریاضی فیریک ۱ ۴۴۴ اسلاید در PowerPoint دارای ۴۴۴ اسلاید می باشد و دارای تنظیمات کامل در PowerPoint می باشد و آماده ارائه یا چاپ است

شما با استفاده ازاین پاورپوینت میتوانید یک ارائه بسیارعالی و با شکوهی داشته باشید و همه حاضرین با اشتیاق به مطالب شما گوش خواهند داد.

لطفا نگران مطالب داخل پاورپوینت نباشید، مطالب داخل اسلاید ها بسیار ساده و قابل درک برای شما می باشد، ما عالی بودن این فایل رو تضمین می کنیم.

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ریختگی احتمالی در متون زیر ،دلیل ان کپی کردن این مطالب از داخل فایل می باشد و در فایل اصلی پاورپوینت کامل درس ریاضی فیریک ۱ ۴۴۴ اسلاید در PowerPoint،به هیچ وجه بهم ریختگی وجود ندارد

---

بخشی از مطالب داخلی اسلاید ها

پاورپوینت کامل درس ریاضی فیریک ۱ ۴۴۴ اسلاید در PowerPoint

اسلاید ۴: ۲تعاریف : کمیت های فیزیک به دو دسته اسکالر و بردارهاتقسیم می شوند. اسکالرها فقط بامقدارشان مشخص می شوندو بردارها بامقداروجهت شان مشخص می شوند.نمایش بردارها در فضا : بردار را با پیکانی درفضا نمایش می دهیم که طول آن معرف اندازه بردار وراستای پیکان جهت بردار می باشد.جمع بردارها به روش هندسی: جمع دو بردار و رابه صور ت نشان می دهیم وبه دو روش متوازی الضلاع وچند ضلعی قابل حوصول است.روش چند ضلعی: ابتدای بردار را در انتهای قرار می دهیم ، بردار حاصل جمع( )برداری است که ابتدایش ابتدای وانتهایش انتهای است.تفاضل دوبردار به روش هندسی:تفاضل دوبردار و راکه به صورت نمایش داده می شودرا می توان با قرار دادن ابتدای دو بردار و بر هم به دست آورد به طوری که ابتدای انتهای وانتهای انتهای آن باشد.فصل۱ بردارها

اسلاید ۵: ۳نمایش مولفه ای بردارها:نقطه انتهای بردار با مختصات مشخص می شود. اگر اندازه بردار وزوایای آن با محورهای X وYو Z به ترتیب باشند: که در آنها را کسینوس های هادی می نامند ، به گونه ای که :درنتیجه:فصل۱ بردارها

اسلاید ۶: ۴مثال۱-۲:اگر و باشند، بردارهای و رابر حسب مولفه های آنها تعیین کنید.حل:فصل۱ بردارهااگر بردارهای یکه در امتداد محورهایX وY وZ را با نشان دهیم ومی توان بردار را با استفاده از بردارهای یکه به صورت نشان داد و اندازه بردار به صورت می باشد.جمع وتفریق بردارها به روش مولفه ای:اگر و باشد،آن گاه:

اسلاید ۷: ۵مثال۱-۳: بردار ازمبدا مختصات به نقطه به مختصات (۴و۳و۲) درفضارسم شده است زوایای این بردار بامحورهای مختصات راتعیین کنید.حل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۸: ۶تمرین۱-۵صفحه۸کتاب درسی: برداری به طول۱۰بامحورهای x,y,z زاویه های مساوی می سازد ، مولفه های آنرابدست آورید.حل:۱۱فصل۱ بردارها

اسلاید ۹: ۷تمرین۱-۶صفحه۸کتاب درسی: برداری که در صفحه xy قرارداردوباجهت مثبت محور xوy زاویه مساوی می سازد ، مولفه های آن رابه دست آورید.حل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۰: ۸تست ۱ – بردار واحد قطرمکعب است . مولفه های بردار کدام است؟الف: ب:ج: د:حل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۱: ۹تست ۲- چه رابطه ای بین کسینوس های هادی برقرار است؟الف: ب:ج: د:حل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۲: ۱۰ضرب نرده ای یا داخلیحاصل ضرب نرده ای یا داخلی دو بردار و رابه صورت نمایش می دهیم که زاویه کوچک تر میان دو بردار و است.از آنجا که اندازه تصویر بردار در راستای باشدآن گاه داریم:حاصل ضرب نرده ای دو بردار به روش مولفه ای: اگر و در آنصورت ضرب داخلی این دو بردار برابر است با :فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۳: ۱۱به دست آوردن زاویه بین دو بردار:خواص ضرب داخلی (نرده ای) بردارها:اگر بردار و نرده ای باشند ، خواهیم داشت :خاصیت خطی:که ازآن خاصیت توزیع پذیری به دست می آید:خاصیت تقارن:فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۴: ۱۲باتوجه به این نکته که است،می توان از ضرب داخلی نامساوی شوارتز را اثبات نمود:کاربردهای ضرب نرده ایکار انجام یافته نیرو: کاری که نیروی درجابه جایی انجام می دهد برابر است با:مولفه نیرو در راستای مشخص: در این حالت از مفهوم مولفه یا تصویر یک بردار در راستای بردار غیر صفر دیگر استفاده می شود.فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۵: ۱۳مثال۱-۱۰صفحه۱۲کتاب درسی : اگر A=[4,1,0]و B=[-2,0,1] باشدبردارC به طول واحد را طوری بیابیدکه عمود بر دو بردارA و Bباشد.حل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۶: ۱۴تمرین۱-۲-۶صفحه۱۶کتاب درسی: مقدارمولفه a رادرراستایbبه دست آورید؟الف)a=[1,1,2],b=[0,0,6]حل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۷: ۱۵تمرین۱-۲-۸صفحه۱۶کتاب درسی:اگر Aبردارثابت وr برداری ازمبدا مختصات تا نقطه (x,y,z) باشد(بردارمکان)،نشان دهید که رابطه زیرمعادله یک صفحه است. حل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۸: ۱۶تمرین۱-۲-۱۰صفحه۱۶کتاب درسی : زاویه بین دوبردار A=3i+4j+k و B=i-j+k راپیداکنید.حل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۹: ۱۷تست ۳- اگرaوbو cبرداریکه باشند و حاصل چقدر می شود؟الف: ب:ج: د:حل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۲۰: ۱۸تست ۴- دوبردار به صورت مفروضند.مقدار مولفه رادرراستای به دست آورید.الف: ب:ج: د:حل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۲۱: ۱۹ضرب برداریحاصل ضرب خارجی دو بردار به صورت نوشته می شود،اندازه آن (که زاویه کوچکتر میان است). برصفحه عمود است وجهت آن با استفاده از قاعده دست راست تعیین می شود،به گونه ای که اگر چهار انگشت دست راست در راستای بردار وچرخش آن ها در جهت بردار باشد، آن گاه انگشت شست جهت بردار رانشان می دهد.با استفاده از اندازه حاصل ضرب خارجی دو بردار وقاعده دست راست داریم:فصل۱ بردارها

اسلاید ۲۲: ۲۰ضرب برداری به روش مولفه ای:اگر و باشدآن گاه:حاصل ضرب خارجی دوبردار به روش دترمینان:مساحت متوازی الاضلاعی که دوبردار اضلاع آن هستند برابر است با:فصل۱ بردارها

اسلاید ۲۳: ۲۱تمرین۱-۳-۴صفحه۲۳کتاب درسی :بااستفاده ازسه بردار ثابت کنید :حل:XYفصل۱ بردارها

اسلاید ۲۴: ۲۲تمرین۱-۳-۵صفحه۲۳کتاب درسی :بااستفاده ازشکل زیر،قانون سینوس ها راثابت کنید.حل:XYBACفصل۱ بردارها

اسلاید ۲۵: ۲۳تمرین۱-۳-۸صفحه۲۴کتاب درسی : نشان دهیدالف:ب:حل: الف:ب:فصل۱ بردارها

اسلاید ۲۶: ۲۴تست ۵ – بردارعمودبر کدام است؟الف: ب:ج: د:حل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۲۷: ۵۲َتست ۶- اگردوبردار مفروض باشند، بردار راکه طول آن واحد است طوری بیابیدکه بر دو بردار عمودباشند.الف: ب:ج: د:حل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۲۸: ۲۶تست ۷- مساحت مثلثی که دوبردار و تشکیل می دهند،چقدر است؟الف: ب:ج: د:حل: مساحت متوازی الاضلاع مساحت مثلثفصل۱ بردارها

اسلاید ۲۹: ۲۷ضرب سه گانه بردارها۱- ضرب سه گانه نرده ایاگر سه بردار ، ، را داشته باشیم، حاصل ضرب نرده ای راضرب سه گانه نرده ای می نامیم وبه صورت زیر نشان می دهیم:قدر مطلق ضرب سه گانه نرده ای برابربا حجم متوازی السطوحی است که سه ضلع آن برداراهای هستند.فصل۱ بردارها

اسلاید ۳۰: ۲۸شرط هم صفحه بودن سه بردار بدین صورت است:۲- ضرب سه گانه برداریعبارت های و را ضرب سه گانه برداری می گویند.دستور بک- کب برای محاسبه حاصل ضرب سه گانه برداری:فصل۱ بردارها

اسلاید ۳۱: ۲۹تمرین۱-۴-۱صفحه۲۸کتاب درسی :حجم متوازی السطوح متشکل از۳ بردار زیر رابه دست آورید.الف:ب:حل: الف:ب:فصل۱ بردارها

اسلاید ۳۲: ۳۰تمرین۱-۴-۲صفحه۲۸کتاب درسی :آیاسه بردارزیر دریک صفحه اند؟الف:]۱و۰و۱[و]۱و۱و۰[و]۰و۱و۱[ب: ]۳و۷- و۲[و]۸و۹و۵[و]۲- و۳و۷[C b a حل:شرط هم صفحه بودن پس درقسمت الف باتوجه به رابطه فوق داریم:یعنی بردارها هم صفحه نیستند.ودرقسمت ب نیز به همین ترتیب.فصل۱ بردارها

اسلاید ۳۳: ۳۱تمرین۱-۴-۳صفحه۲۸کتاب درسی :نشان دهیدحل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۳۴: ۳۲تمرین۱-۴-۶صفحه۲۸کتاب درسی :اگر Dترکیب خطی ازسه بردار ناهم صفحه(ونامتعامد)زیر باشد D=aA+bB+cCنشان دهید که ضرایبaوbوcازنسبت ضربهای سه گانه نرده ای به شکل زیر دست می آیند وغیرهحل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۳۵: میدان های نرده ای وبرداریاگر تابع نرده ای در نقطه ازفضا مقداری معین داشته باشد، گوییم میدان نرده ای درآن نقطه تعریف شده است. در هر نقطه مقدار مستقل از انتخاب دستگاه مختصات است.میدان برداری:وقتی تابع برداری درهرنقطه یک ناحیه تعریف شده باشد،می توان گفت که آن ناحیه یک میدان برداری است.نمایش میدان برداری در دستگاه مختصات دکارتی:خطوط میدان برداری:هرمنحنی که بردار مماس درهر نقطه آن،درجهت باشدراخط میدان گویند.۳۳فصل۱ بردارها

اسلاید ۳۶: ۳۴شیب(گرادیان) میدان نرده ایمشتق جهتی:نسبت تغییرات میدان نرده ای رادر یک جهت معین،مشتق جهتی آن میدان می گویند.اگر تغییرمکان بی نهایت کوچک درجهت مورد نیازباشد آن گاه مشتق جهتی است.مشتق جهتی درمختصات دکارتی: اگر دارای مولفه های باشد داریم:شیب(گرادیان)میدان نرده ای:برداری است که اندازه آن بیشینه مشتق جهتی درنقطه مورد نظر وجهت آن، جهتی است که مشتق جهتی درآن راستا بیشینه باشد.فصل۱ بردارها

اسلاید ۳۷: ۳۵شیب نرده ای یا گرادیان رابا (عملگر دل) یا نشان می دهیم وجهتی دارد عمود برسطح تراز که از نقطه مورد نظر می گذرد.عملگر دل (گرادیان)درمختصات دکارتی:برداریکه عمود برسطح تراز رویه ای درجهت افزایش :فصل۱ بردارها

اسلاید ۳۸: ۳۶مثال۱-۲۵صفحه۳۴کتاب درسی :برداریکه ای رابیابید که برسطح تراز درنقطه ای به مختصات عمود ودر جهت افزایش باشد.حل:می دانیم برداری که عمود بر سطح تراز درنقطه باشد برابر است بابنابراین برداری یکه مورد سوال در این نقطه به قرار زیر خواهد بود :فصل۱ بردارها

اسلاید ۳۹: ۳۷مثال۱-۲۶صفحه۳۵کتاب درسی :دمای نقطه (x,y,z) یک محیط درزمانt به صورتفرض شده است.آهنگ تغییر دما نسبت به زمان ذره ای را که با سرعتدرزمان t=0 ازنقطه می گذرد،محاسبه کنید.حل: متغییرهای فضا را درطول مسیر ذره می توان توابعی از زمان در نظر گرفت و بنابراین تابع مرکبی از زمان است. با مشتق گیری نسبت به زمان خواهیم داشتکه درآن (بردار سرعت) است . پس با مشتق گیری ودر نظر گرفتن ،چنین نتیجه می شود :فصل۱ بردارها

اسلاید ۴۰: ۳۸ادامه مثال۱-۲۶:اکنون آهنگ تغیردما را ازرابطه(۱-۳۳)به دست می آوریمفصل۱ بردارها

اسلاید ۴۱: ۳۹مثال۱-۲۷صفحه۳۵کتاب درسی :اگر باشدمطلوب استالف) درنقطهب)اندازه گرادیان sیعنی در نقطهج)کسینوس های هادی در نقطهحل: الف)ب)فصل۱ بردارها

اسلاید ۴۲: ۴۰ادامه مثال۱-۲۷:ج)فصل۱ بردارها

اسلاید ۴۳: ۴۱مثال۱-۲۸صفحه۳۶کتاب درسی :اگر باشد رامحاسبه کنید.حل: داریماکنون از دستور زنجیری مشتق گیری استفاده می کنیمفصل۱ بردارها

اسلاید ۴۴: ۴۲تمرین۱-۶-۱صفحه۳۶کتاب درسی :شیب میدان های زیر رابه دست آورید:الف:ب:ج:حل: الف:ب:ج:فصل۱ بردارها

اسلاید ۴۵: ۴۳تمرین۱-۶-۲صفحه۳۶کتاب درسی :درصورتی کهg وf دوتابع مشتق پذیر برحسب xوyوz باشد،ثابت کنید:الف:ب:حل: الف:ب:فصل۱ بردارها

اسلاید ۴۶: ۴۴تمرین۱-۶-۳صفحه۳۷کتاب درسی :دریک میدان دمایی به صورت گرمادر جهت بیشینه کاهش دمای Tجریان می یابد.این جهت را درنقطه به دست آورید .حل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۴۷: ۴۵تمرین۱-۶-۴صفحه۳۷کتاب درسی :اگرپتانسیل بین دواستوانه هم محور برحسب ولت به صورت باشد،جهت میدان الکتریکی رادرنقطه به دست آورید.حل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۴۸: ۴۶تمرین۱-۶-۶صفحه۳۷کتاب درسی :اگرتابع برداریFبستگی به فضای وزمانtداشته باشد نشان دهیداشاره:ر ک مثال۱-۲۶.حل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۴۹: ۴۷تمرین۱-۶-۷صفحه۳۷کتاب درسی :بردار یکه عمود برمنحنی مفروض در نقطهP رابدست آوریدالف)ب)حل:الف:ب:فصل۱ بردارها

اسلاید ۵۰: ۴۸تمرین۱-۶-۸صفحه۳۷کتاب درسی :اگر باشد،ثابت کنیدحل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۵۱: انتگرال برداری۱- انتگرال خطی یک بردار: اگر یک بردار باشد ، عبارتست از انتگرال خطی آن روی منحنی از نقطه تا که در آن بردار کوچکی مماس برمنحنی می باشد.ازآنجا که ضربی نرده ای است،حاصل انتگرال نیز نرده ای خواهد بود.انتگرال خطی یک بردار نه تنها به نقاط و بستگی دارد،بلکه به مسیر انتگرال گیری(منحنی )نیز وابسته است.درصورتی که حاصل انتگرال به شکل مسیر بستگی نداشته باشد . دراین صورت میدان برداری مورد نظر را پایستار می گویند وانتگرال آن روی هر پربند بسته صفر می شود.اگر در نتیجه پایستار است.۲-انتگرال سطحی یک بردار روی سطح : انتگرال سطحی بردار رو سطح را اینگونه تعریف می کنیم که عنصر سطح از سطح بوده، بردار یکه عمود برسطح وجهت آن به سمت خارج سطح بسته می باشد.۴۹فصل۱ بردارها

اسلاید ۵۲: ۵۰حاصل انتگرال سطحی به شکل صفحه قبل یک کمیت نرده ای می باشد.۳- انتگرال حجمی بردار : یک بردار است و المان(عنصر) حجم از حجم می باشد.فصل۱ بردارهاحاصل انتگرال حجمی یک بردار کمیتی برداری است .

اسلاید ۵۳: ۵۱مثال۱-۳۲صفحه۴۱کتاب درسی :اگر و Vیک هشتم حجم کره درناحیه باشد،مطلوب است محاسبهحل: فصل۱ بردارها

اسلاید ۵۴: ۵۲مثال۱-۳۳صفحه۴۲کتاب درسی :بارالکتریکی نقطه ای q درمبداء مختصات فرض می شود. میانگین حجمی میدان الکتریکی آن را در حجم کره ای به شعاعR که مرکز آن روی بار فوق قرار دارد حساب کنید.حل: بنا به تعریف که درآن V حجم کره است.مولفه های عبارتنداز :فصل۱ بردارها

اسلاید ۵۵: ۵۳ادامه مثال۱-۳۳:به همین ترتیبفصل۱ بردارها

اسلاید ۵۶: ۵۴تمرین۱-۷-۱صفحه۴۳کتاب درسی :مقدار رابه دست آورید .حل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۵۷: ۵۵تمرین۱-۷-۲صفحه۴۳کتاب درسی :کار انجام یافته از نقطه تانقطه حاصل نیروی رابه دست آورید.مسیر انتخابی خود را دقیقا مشخص کنید وتوجه داشته باشید این نیرو پایستار نیست.حل:acdbفصل۱ بردارها

اسلاید ۵۸: ۵۶ادامه تمرین۱-۷-۲صفحه۴۳کتاب درسی :فصل۱ بردارها

اسلاید ۵۹: ۵۷تمرین۱-۷-۳صفحه۴۳کتاب درسی :مقدار راروی سطح مکعبی به ضلع واحد که یک راس آن در نقطه قرار داشته و درناحیه یک هشتم اول دستگاه مختصات باشد به دست آورید.حل:ابتدا مقدار انتگرال را برای سطوح مجاور نقطه (۰.۰.۵) محاسبه می کنیم . با این فرض که راس اصلی مکعب روی این نقطه و بقیه آن بالای این نقطه قرار دارد :فصل۱ بردارها

اسلاید ۶۰: فصل۱ بردارهابرای سه وجه دیگر مکعب خواهیم داشت :۵۸

اسلاید ۶۱: ۵۹تمرین۱-۷-۴صفحه۴۳کتاب درسی : رادر حالت های زیر محاسبه کنیدالف:ب: ازنقطه تانقطهحل:الففصل۱ بردارها

اسلاید ۶۲: ۶۰ادامه تمرین۱-۷-۴صفحه۴۳کتاب درسی : یافصل۱ بردارها

اسلاید ۶۳: ۶۱ادامه تمرین۱-۷-۴صفحه۴۳کتاب درسی : ب:فصل۱ بردارها

اسلاید ۶۴: ۶۲تمرین۱-۷-۵صفحه۴۳کتاب درسی :مقدار را محاسبه کنید،درصورتیکهV یک هشتم مثبت کره توپر باشد.حل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۶۵: فصل۱ بردارهاواگرایی(دیورژانس)دیوژانس یک اپراتور برداری است که بزرگی میدان برداری چاه یا چشمه را در یک جهت معین اندازه گیری می کند.حاصل عمل اپراتور دیورژانس در یک کمیت برداری اسکالر خواهد بود.خود دیورژانس برداری است که در جهات مختلف مشتق می گیرد و ضرب داخلی این اپراتور در یک بردار مطابق انتظار ، به ما یک کمیت اسکالر خواهد داد.این کمیت در الکترو مغناطیس و بقای جرم استفاده می شود.همچنین در الکترومغناطیس ، دیورژانس بردار میدان مغناطیسی و میدان الکتریکی ۰ است. دلیل آن خیلی ساده است ، تعداد خطوط میدانی که به یک جسم وارد می شوند ، برابرند با تعداد خطوطی که خارج می شوند. دیورژانس نشان دهنده چگالی حجمی شار خروجی از (یا ورودی به) یک حجم بسیار کوچک در می باشد. ۶۳

اسلاید ۶۶: واگرایی(دیورژانس)یک تابع برداریواگرایی بردار راکه یک مشتق برداری است، بانماد یا نمایش می دهیم.تعریف واگرایی: یعنی واگرایی بردار عبارت است از حد انتگرال سطحی به ازای واحد حجم بردار وقتی حجم درون سطح به صفر میل کند.در صورتی که داشته باشیم: ،میدان برداری رامیدان سیملوله ای می گویند.واگرایی در مختصات دکارتی:۶۴فصل۱ بردارها

اسلاید ۶۷: ۶۵تمرین۱-۸-۱صفحه۴۶کتاب درسی :واگرایی توابع برداری زیر را به دست آوریدالف:ب:ج:حل:توابع فوق دارای مشتق های ساده ای هستند وهمانطور که می دانیم واگرایی با رابطه بدست می آید. پس داریم:الف:ب:ج:فصل۱ بردارها

اسلاید ۶۸: ۶۶تمرین۱-۸-۲صفحه۴۶کتاب درسی :اتحاد بردای زیر راثابت کنیدکه درآن مشتق پذیر ند.حل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۶۹: ۶۷تمرین۱-۸-۳صفحه۴۶کتاب درسی :با استفاده ازاتحاد بردایتمرین قبلی،واگرایی تابع برداری زیر رامحاسبه کنیدحل:ازتمرین ۲داریم پس تابع فوق را به شکل مذکور تبدیل می کنیمفصل۱ بردارها

اسلاید ۷۰: ۶۸فصل۱ بردارهاتمرین ۱-۸-۷ – میدان الکترواستاتیک بار نقطه ایی برابر است با واگرایی را بدست آورید .حل:

اسلاید ۷۱: فصل۱ بردارهانکته : می توان نشان داد ( ؟ ) که اگر باشد در آنصورت :مثال ۱-۳۶- نشان دهید سیملوله ایی است .۶۹

اسلاید ۷۲: ۷۰تمرین۱-۸-۸صفحه۴۷کتاب درسی :ثابت کنیدحل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۷۳: قضیه واگرایی(گاوس)انتگرال واگرایی یک بردار روی حجم برابر انتگرال سطحی مولفه عمود برسطح آن بردار روی سطح بسته مرزی حجم است:۷۱فصل۱ بردارها

اسلاید ۷۴: ۷۲مثال۱-۳۷صفحه۴۸کتاب درسی :میدان بار الکتریکی نقطه ایq که درمبدا مختصات قرار دارد با عبارت مشخص می شود.ثابت کنید که درآنV هر حجم دلخواه است که بارq را دربر می گیرد.حل: بنا برقضیه واگرایی،داریم حال اگرE را جایگزین کنیم، می رسیم بهکه درآن ، مطابق شکل صفحه بعد ، تصویر عنصر سطح daروی صفحه عمود برr و برابر زاویه فضایی است. فصل۱ بردارها

اسلاید ۷۵: ۷۳شکل۱-۲۱مثال ۱-۳۷xyznrفصل۱ بردارها

اسلاید ۷۶: زاویه فضاییدر هندسه، زاویه فضایی، که معمولاً با نشان داده می‌شود، زاویه‌ای در فضای سه‌بعدی است که یک جسم روی یک نقطه را می‌پوشاند. این زاویه نشان می‌دهد که آن جسم از دید بیننده‌ای که از آن نقطه به جسم می‌نگرد چه‌قدر بزرگ می‌آید. برای نمونه، جسم کوچکی در فاصله نزدیک می‌تواند همان زاویه فضایی‌ای را بپوشاند که جسم بزرگی در دوردست می‌تواند. اگر جسم را روی سطح کره‌ای به مرکز آن نقطه تصویر کنیم، زاویه فضایی جسم متناسب است با مساحت بخشی از کره که جسم پوشانده است، تقسیم بر شعاع کره به توان دو:که در این رابطه kضریب تناسب است.یکای سنجش زاویه فضایی در سیستم استاندارد بین‌المللی واحدها استرادیان است. در یکای استرادیان، ضریب تناسب برابر با یک است.در مختصات کروی، جزء زاویه فضایی برابر با =sinاست.فصل۱ بردارها۷۴

اسلاید ۷۷: ۷۵مثال۱-۳۹صفحه۴۹کتاب درسی :باتوجه به اتحاد برداری تمرین۱-۸-۲بخش قبل اگرE میدان الکتریکی و پتانسیل الکترواستاتیکی نظیر آن باشد نشان دهیدحل: می دانیماما از اتحاد مزبور داریماولین انتگرال سمت راست برابرصفر است. حال اگر را در انتگرال دوم بنشانیم فصل۱ بردارها

اسلاید ۷۸: ۷۶تمرین۱-۹-۱صفحه۴۹کتاب درسی :مقدار را بااستفاده ازقضیه واگرایی برای حالتهای زیر محاسبه کنیدالف: وsسطح ب: وsسطحج: وsسطححل:الف:فصل۱ بردارها

اسلاید ۷۹: ۷۷ادامه تمرین۱-۹-۱صفحه۴۹کتاب درسی :ب:ج:فصل۱ بردارها

اسلاید ۸۰: ۷۸تمرین۱-۹-۲صفحه۵۰کتاب درسی :نشان دهید که درآنV حجمی است که با سطح بستهS محصور شده است.حل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۸۱: فصل۱ بردارها را روی سطح خمیده نیمکره و در صورتی کهحل:۷۹تمرین۱-۹-۴صفحه۵۰کتاب درسی :

اسلاید ۸۲: فصل۱ بردارهاکرل یا تاو در ریاضیات برداری ، کرل عملگری برداری است که چرخش بی نهایت کوچک یک میدان برداری سه بعدی را در هر نقطه از فضا مشخص می کند . در هر نقطه از میدان کرل توسط یک بردار مشخص می شود که جهت کرل در راستای محور دوران است و بر اساس قاعده دست راست بدست می آید و اندازه کرل شدت چرخش را مشخص می کند . در بیان فیزیکی تاو بیانگر چرخش یک شاره یا سیال در فضا یا سطح است. یعنی اگر یک چرخ پره دار را در منطقه ی با تاو مثبت بگذاریم شروع به چرخش پادساعتگرد می کند.میدان برداری را که کرل آن صفر باشد را غیر چرخشی یا نا تاوی می نامیم .می توان نشان داد که اگر میدان غیر چرخشی باشد ، می توان آنرا بصورت ( منفی ) گرادیان یک پتانسیل اسکالر نوشت ( همانند میدان الکتریکی ) .۸۰

اسلاید ۸۳: فصل۱ بردارها۸۱

اسلاید ۸۴: ۸۲تاو(کرل)یک میدان برداریتاو یک بردار را به صورت یا نمایش می دهیم.تعریف تاو: ، یعنی تاو یک بردار عبارت است از حد نسبت انتگرال سطحی حاصل ضرب برداری بردار یکه عمود برسطح ( )دربردار ، روی سطح بسته ، به حجم وقتی که به سمت صفر میل می کند.در حالتی که شود، میدان برداری را ناتاوی(غیر چرخشی) گویند.فصل۱ بردارها

اسلاید ۸۵: تاو درمختصات دکارتی:۸۳فصل۱ بردارها

اسلاید ۸۶: ۸۴مثال۱-۴۰صفحه۵۲کتاب درسی :بردار مفروض است.تاوآن را محاسبه کنید.حل: فصل۱ بردارها

اسلاید ۸۷: ۸۵مثال۱-۴۱صفحه۵۲کتاب درسی :ثابت کنیدحل: فصل۱ بردارها

اسلاید ۸۸: ۸۶مثال۱-۴۲صفحه۵۲کتاب درسی :الف:اتحاد برداری زیرراثابت کنیدب:باتوجه به اتحاد برداری بالا نشان دهید که درآن تابعf دوبار مشتق پذیراست.حل:الف: فرض می کنیمبنابراین داریم فصل۱ بردارها

اسلاید ۸۹: ۸۷ب:می دانیم پس با استفاده از اتحاد بند الف داریماما ازمثال۱-۴۱می دانیم . پس به آسانی می رسیم بهزیرا استفصل۱ بردارها

اسلاید ۹۰: ۸۸مثال۱-۴۴صفحه۵۴کتاب درسی :اگرV,U ناتاوی باشند نشان دهید سیم لوله ای است.حل: می دانیملذاولی می دانیم Vو U ناتاوی اند یعنی پس نتیجه می گیریم که فصل۱ بردارها

اسلاید ۹۱: ۸۹مثال۱-۴۵صفحه۵۴کتاب درسی :گشتاودوقطبی الکتریکیPدرمبدا مختصات واقع است. این دوقطبی پتانسیل الکتریکی زیررا درمحلr به وجود می آوردمیدان الکتریکی را درr به دست آورید.حل: بافرض داریم فصل۱ بردارها

اسلاید ۹۲: ۹۰تمرین۱-۱۰-۱صفحه۵۴کتاب درسی : تاو توابع برداری زیر را بدست آوریدالف:ب:ج:حل:الف:فصل۱ بردارها

اسلاید ۹۳: ۹۱ادامه تمرین۱-۱۰-۱صفحه۵۴کتاب درسی :ب:فصل۱ بردارها

اسلاید ۹۴: ۹۲ادامه تمرین۱-۱۰-۱صفحه۵۴کتاب درسی :ج:فصل۱ بردارها

اسلاید ۹۵: ۹۳تمرین۱-۱۰-۲صفحه۵۵کتاب درسی : اگر باشدمطلوبست محاسبهالف:ب:ج:حل:الف:با استفاده از قاعده بک-کب می توان ثابت کرد :فصل۱ بردارها

اسلاید ۹۶: ۹۴ادامه تمرین۱-۱۰-۲صفحه۵۵کتاب درسی :ب:فصل۱ بردارها

اسلاید ۹۷: ۹۵تمرین۱-۱۰-۴صفحه۵۵کتاب درسی : اگرA ناتاوی باشد نشان دهید سیم لوله ای است.حل:چونA ناتاو است پس کرل آن صفر است. می دانیم کرل بردارr هم صفر است. اگر کرل عبارت فوق صفر باشد،سیم لوله ای خواهد بود:فصل۱ بردارها

اسلاید ۹۸: ۹۶تمرین۱-۱۰-۵صفحه۵۵کتاب درسی : درمکانیک کوانتومی می دانیم عملگرهای تکانه زاویه ای به صورتهستند.نشان دهیدیعنیحل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۹۹: ۹۷تمرین۱-۱۰-۸صفحه۵۵کتاب درسی(سوال۱تشریحی نیمسال اول۸۸-۸۹) :سرعت شارش دوبعدی شاره ای به صورت زیر استاگرشارش تراکم ناپذیر وشارش ناتاوی باشد نشان دهیددورابطه بالا را شرایط کوشی – ریمان می نامند.حل:با توجه به شرط تراکم ناپذیری a وشرط ناتاویbداریم:فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۰۰: قضیه استوکسانتگرال خطی بردار روی پر بند بسته برابر است با انتگرال مولفه قائم تاو آن بردار روی هر سطحی که آن رادر بر می گیرد:که منحنی بسته ای است که را در بر می گیرد.۹۸فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۰۱: ۹۹مثال۱-۴۶صفحه۵۷کتاب درسی :اگر باشد مطلوبست محاسبهکهs بخشی از سطح در است.حل:با استفاده از قضیه استوکس داریممحل تقاطع سهمیگون و صفحه یک دایره است که معادله آن می باشد . پس برای مسیر به روش پارامتری خواهیم داشت :فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۰۲: فصل۱ بردارها۱۰۰ادامه حل مثال صفحه ۵۷

اسلاید ۱۰۳: ۱۰۱مثال۱-۴۸صفحه۵۷کتاب درسی : بااستفاده ازقضیه استوکس مقدار رامحاسبه کنید.حل:از قضیه استوکس داریموبا درنظر گرفتن ازمثال۱-۴۱نتیجه زیر به دست می آید.فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۰۴: ۱۰۲تمرین۱-۱۱-۳صفحه۵۹کتاب درسی :اگر باشد مطلوبست محاسبه کهs بخشی از سطح در باشدحل:پسs همواره بخشی از سطح یک دایره است.فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۰۵: ۱۰۳تمرین۱-۱۱-۵صفحه۵۹کتاب درسی :الف: نشان دهید مقدار دوبرابر مساحت سطح تخت محصور در پربند انتگرال گیری است.ب: پیرامون بیضی با توصیف می شود.با استفاده از بند الف نشان دهید مساحت بیضی برابر با است.حل:الف:فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۰۶: ۱۰۴ادامه تمرین۱-۱۱-۵صفحه۵۹کتاب درسی :ب: راه حل ۱فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۰۷: ۱۰۵تمرین۱-۱۱-۶صفحه۵۹کتاب درسی :با استفاده ازقضیه استوکس یاقضیه واگرایی هریک ازانتگرال های رابه آسان ترین راه ممکن حساب کنید.ب: راروی سطح بسته مکعب مستطیلی محدود به و و است را به ازای حل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۰۸: ۱۰۶فصل۱ بردارهاالف: که بخشی از سطح است که بالای صفحه قرار دارد. در صورتی که حل :

اسلاید ۱ایر عبارتهای شامل عملگر لاپلاسین(لاپلاسی)،واگرایی شیب یک تابع اسکالر است،یعنی:عملگر لاپلاسی در مختصات دکارتی:به کمک تعریف ضرب برداری می توان ثابت کرد که تاوشیب یک تابع نرده ای دلخواه( ) همواره برابر صفر است،یعنی:درنتیجه شیب یک تابع ،ناتاوی (غیر چرخشی) است.فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۱۰: برخی از کاربرد های لاپلاسی در فیزیک معادله لاپلاسمعادله موجمعادله پخش یا معادله رسانش گرماییمی توان نشان داد که: ،یعنی تاو یک تابع برداری همواره سیملوله ای است.با استفاده از دستور بک- کب می توان نشان داد که:۱۰۸فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۱۱: ۱بطه مهم در کاربرد های متوالی:فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۱۲: ۱۱۰مثال۱-۵۰صفحه۶۲کتاب درسی : اگر باشد رابدست آورید .حل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۱۳: ۱۱۱مثال۱-۵۲صفحه۶۳کتاب درسی :نشان دهید پاسخ معادله که درآن K مقدارثابتی است،درمعادله هلمهولتز، ،ودرشرط سیم لوله ای صدق می کند.حل:از رابطه(۱-۵۵)داریموبرای معادله مفروض می توان نوشتدرنتیجه داریمبرای این که رابطه بالا همواره برقرار باشد بایدبنابراین ملاحظه می کنیم کهA هم در شرط سیم لوله ای وهم در معادله هلمهولتز صدق می کند.فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۱۴: ۱۱۲مثال۱-۵۳صفحه۶۳کتاب درسی :یکی از کاربردهای معادله(۱-۵۵)استفاده ازآن برای به دست آوردن معادله موج الکترومغناطیسی است. اگرمعادلات ماکسول در خلا به صورت زیر باشند: (۱-۵۷الف)(۱-۵۷ب)(۱-۵۷ج)(۱-۵۷د)که درآنE میدان الکتریکی و Bمیدان مغناطیسی و به ترتیب عبارتند ازگذر دهی الکتریکی وتراوایی مغناطیسی فضای آزاد(برحسب یکاهایSI).معادله موج الکترومغناطیس رادر خلا به دست آورید.فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۱۵: ۱۱۳ادامه مثال۱-۵۳صفحه۶۳کتاب درسی :حل:نخست از رابطه (۱-۵۷ج)نسبت به زمان مشتق می گیریموسپس تاو دو سمت رابطه (۱-۵۷د)را به دست می آوریماما سمت چپ معادله بالا را می توان با کمک رابطه (۱-۵۵)ساده کردفصل۱ بردارها

اسلاید ۱۱۶: ۱۱۴ادامه مثال۱-۵۳صفحه۶۳کتاب درسی :ولی اولین جمله سمت راست رابطه بالا برابر صفر( ) است،در نتیجهیا(۱-۵۸)ومعادله(۱-۵۸)همان معادله موج الکترومغناطیسی درخلا است.فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۱۷: ۱۱۵تمرین۱-۱۲-۱صفحه۶۴کتاب درسی :لاپلاسی هریک ازمیدان های نرده ای را حساب کنیدب:حل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۱۸: ۱۱۶تمرین۱-۱۲-۲صفحه۶۵کتاب درسی :برای مطلوب استب:ج:حل:ب:ج:فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۱۹: ۱۱۷تمرین۱-۱۲-۳صفحه۶۵کتاب درسی :اگر باشد، نشان دهید برای هر سطح بستهS داریمحل:چون کرل یک بردار سیملوله ایی است که دیورژانس آن برابر صفر می باشد .فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۲۰: ۱۱۸تمرین۱-۱۲-۷صفحه۶۵کتاب درسی :ثابت کنیدحل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۲۱: ۱۱۹تمرین۱-۱۲-۸صفحه۶۵کتاب درسی :ثابت کنیدحل:فصل۱ بردارها

اسلاید ۱۲۲: فصل دوم دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۲۳: فصل دوم:در این فصل در مورد جبر ودیفرانسیل و انتگرال بردارها در دستگاه مختصات خمیده که بسیار به کار می روند، می پردازیم.۱- مقدمه۲- مختصات خمیده خط۳- عملگرهای مشتق برداری در دستگاه های خمیده۴- دستگاه مختصات خاص:الف:دستگاه مختصات کرویب:دستگاه مختصات استوانه ای دوار( )۵- جداسازی متغییر ها:۱۲۰فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۲۴: ۵- جداسازی متغییر ها:الف:جداسازی متغییرها در دستگاه مختصات دکارتیب:جداسازی متغییرها در دستگاه مختصات استوانه ای دوارج:جداسازی متغییرها در دستگاه مختصات قطبی کروی۱۲۱فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۲۵: مقدمهدستگاه مختصات دکارتی از فصل مشترک سه سطح تخت عمود برهم ( )تشکیل می شودوبه هر محور یک بردار یکه با طول ثابت وجهت ثابت مربوط می شود که عبارتند از: .مختصات خمیده خطسه دسته سطح ثابت که الزاما عمود برهم یا مسطح نباشند را در نظر می گیریم.چون فصل مشترک سه دسته سطح ( ثابت وثابت وثابت )به صورت خط های خمیده شکل اند،مختصات( )را مختصات خمیده خط می نامند.۱۲۲فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۲۶: ۱۲۳هر نقطه دلخواه چون را در فضای می توان بایک سه تایی در مختصات دکارتی ( )یایک سه تایی در مختصات خمیده خط( )مشخص نمود.روابط تبدیل(رابطه های بین( )و( ))عبارتند از:روابط معکوس(روابط بین( )و( ))عبارتند از:فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۲۷: ۱۲۴برای هر سطح ثابت می توان یک بردار یکه چون عمود برسطح و درجهت افزایش تعریف کرد.بردار دلخواه در مختصات خمیده خط: ، ها بردارهای یکه هستند وجهت آن ها ثابت نیست.در صورتی که دستگاه راست گرد باشد:درمختصات خمیده خط،مربع طول عبارت است از: که را ضرایب متریک می نامند.می توان نشان دادکه:فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۲۸: ۱۲۵اگر دستگاه مختصات خمیده متعامد باشد:می توان نشان داد ( تمرین ۲-۲-۵) به ازای داریم وتنها حالت های باقی می ماندکه آن هارا به صورت نشان می دهند. که راعامل مقیاس می نامند.به دست آوردن عامل مقیاس( ) :مجذور عنصر فاصله درمختصات خمیده خط :مماس ها به نقطه P در مختصات خمیده ، خط موازی با جهت های بابزرگی خواهند بود.فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۲۹: ۱۲۶بردار دیفرانسیلی فاصله( ) که بیانگر بردار دیفرانسیلی فاصله P تا Q است :شرایط متعامد بودن یک دستگاه مختصات:عنصرسطح درمختصات خمیده خط( ) :عنصر حجم درمختصات خمیده خط( ) :فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۳۰: ۱۲۷مثال۲-۳صفحه۷۷کتاب درسی:اگر رابطه های تبدیل بین مختصات خمیده ومختصات دکارتی به صورت زیر باشند :نشان دهید دستگاه مختصات متعامد است ومقدار رابدون استفاده ازرابطه(۲-۱۳) به دست آورید.حل:رابطه های تبدیل بالا را می توان به صورت زیر نوشتحال اگرr بردار مکان نقطه ای در فضا باشد:فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۳۱: ۱۲۸ادامه مثال۲-۳صفحه۷۷کتاب درسی:آنگاه داریمبنابراین از رابطه بالا می توان را به دست آورد :از رابطه(۲-۱۸)شرط تعامد را می نویسیماکنون ببینیم که آیا در این حالت سه شرط بالا برقرار هستند یا نه.برای اولین رابطه داریمزیرا میدانیم i و j و k سه بردار متعامد درمختصات دکارتی اند.برای دومین رابطه داریم :فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۳۲: ۱۲۹ادامه مثال۲-۳صفحه۷۷کتاب درسی:وهمین طور برای سومین رابطه نتیجه می گیریمپس با قاطعیت می توان گفت دستگاه مختصات متعامد است .اما می دانیمبنابراین برای محاسبه باید dx و dyو dzرابه دست آوریم.می دانیمولی از رابطه های تبدیل داریمپسفصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۳۳: ۱۳۰ادامه مثال۲-۳صفحه۷۷کتاب درسی:این عمل را برایdy وdzهم به صورت زیر انجام می دهیمولیپسوسرانجامپسدرنتیجه داریمفصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۳۴: ۱۳۱ادامه مثال۲-۳صفحه۷۷کتاب درسی:اکنون برای به دست آوردن از تعریف در مختصات خمیده استفاده می کنیم. یعنی داریمازمقایسه دو رابطه اخیر داریم:فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۳۵: ۱۳۲مثال۲-۴صفحه۷۹کتاب درسی:برای دستگاه مختصات استوانه سهموی که به صورت زیر تعریف میشوند بردارهای یکه و ضرایب مقیاس را به دست آورید ونشان دهید این دستگاه متعامد است.همچنین عنصر حجم رابرای این دستگاه به دست آورید.حل:نخست بردارrرا دراین دستگاه به دست می آوریمفصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۳۶: ۱۳۳ادامه مثال۲-۴صفحه۷۹کتاب درسی: اکنون مشتقات جزییr را نسبت بهu وv و zتعیین می کنیمازتقسیم بربزرگی بردارها داریمبنابراین از تساوی این رابطه با رابطه های قبلی داریماکنون با استفاده از ضرب نرده ای هرجفت بردار یکه می توان نشان داد که این دستگاه مختصات یک دستگاه مختصات متعامد استفصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۳۷: ۱۳۴ادامه مثال۲-۴صفحه۷۹کتاب درسی:اما می دانیم پساما پسفصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۳۸: ۱۳۵ادامه مثال۲-۴صفحه۷۹کتاب درسی:بنابراین یعنی دستگاه مختصات مزبور متعامد است.برای پیدا کردن عنصر حجم دراین دستگاه ازرابطه (۲-۲۱)داریم :فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۳۹: ۱۳۶فصل ۲ دستگاه های مختصاتتست ۱:برای دستگاه مختصات استوانه سهموی که به صورت زیر تعریف میشود،مقدار کدام است؟الف: ب:ج: د:حل: به مثال قبل ر.ک

اسلاید ۱۴۰: ۱۳۷مثال۲-۵صفحه۸۰کتاب درسی:دردستگاه مختصات کروی وروابط تبدیل این دستگاه به دستگاه مختصات دکارتی به قرار زیر اندمطلوب است الف:تعیینب:تعیینج:نشان دهید این دستگاه مختصات متعامد استد: رابرای این دستگاه به دست آورید.حل:الف:از رابطه (۲-۱۳)داریمفصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۴۱: ۱۳۸ادامه مثال۲-۵صفحه۸۰کتاب درسی:فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۴۲: ۱۳۹ادامه مثال۲-۵صفحه۸۰کتاب درسی:ب:می دانیم .بنابراین با استفاده از رابطه های تبدیل می توان نوشتوازآن به دست میآیدونیز برای داریمفصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۴۳: ۱۴۰ادامه مثال۲-۵صفحه۸۰کتاب درسی:ج:برای این که دستگاه مزبور متعامد باشد باید دوبه دوبرهم عمودباشند،یعنیدربررسی ضرب نرده ای اولین رابطه داریمقبل از ساده کردن رابطه بالا توجه داریم کهفصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۴۴: ۱۴۱ادامه مثال۲-۵صفحه۸۰کتاب درسی:ازضرب جملات در یکدیگر داریمدردوجمله اول از فاکتور می گیریمبرای دومین رابطه داریمفصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۴۵: ۱۴۲ادامه مثال۲-۵صفحه۸۰کتاب درسی:با انجام عمل ضرب خواهیم داشتهمچنین برای سومین رابطه می نویسیمبنابراین نتیجه می گیریم دستگاه مختصات کروی،یک دستگاه متعامد است.فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۴۶: ۱۴۳ادامه مثال۲-۵صفحه۸۰کتاب درسی:د:اکنون از رابطه (۲-۱۴)داریماز بند(الف)این مثال داریم بنابراین نتیجه می گیریماما از رابطه (۲-۲۱) برای dvداریمدرنتیجه برای این دستگاه مختصات به نتیجه زیر می رسیمفصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۴۷: ۱۴۴فصل ۲ دستگاه های مختصاتتست ۲:در دستگاه مختصات کروی می باشد با نوشتن روابط تبدیل این دستگاه به دستگاه دکارتی حاصل عبارت برابر است با:الف: ب:صفرج: ۱ د:حل:روابط تبدیل دستگاه مختصات کروی به دکارتی به صورت زیر می باشندمی دانیم .بنابراین با استفاده از رابطه های تبدیل می توان نوشتواز آن به دست می آید

اسلاید ۱۴۸: ۱۴۵فصل ۲ دستگاه های مختصاتادامه تست ۲:اکنون به محاسبه می پردازیم:قبل از ساده کردن رابطه بالا توجه داریم کهاز ضرب جملات در یکدیگر داریم

اسلاید ۱۴۹: ۱۴۶مثال۲-۶صفحه۸۳کتاب درسی:به طور تحلیلی نشان دهید اگر مختصات خمیده خط متعامدی باشند که با رابطه های تبدیل زیر تعریف شوندو ژاکوبیJ به صورت زیر تعریف شودآنگاه داریم فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۵۰: ۱۴۷ادامه مثال۲-۶صفحه۸۳کتاب درسی:حل:با اندکی دقت در دترمینان بالا متوجه می شویم که هرستون به ترتیب مولفه های دکارتی هستند.بنابراین، نتیجه می گیریم که این دترمینان برابر با ضرب سه گانه نرده ای این سه بردار است.یعنی داریم :زیرا بردارهای یکه متعامد اند. اگر این دستگاه راستگرد باشد در رابطه بالا علامت مثبت واگر دستگاه چپ گرد باشد علامت منفی به کار خواهد رفت. در هر حالت داریم:فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۵۱: ۱۴۸تمرین۲-۲-۱صفحه۸۴کتاب درسی :دردستگاه مختصات استوانه ای دوار ورابطه های تبدیل این دستگاه با دستگاه مختصات دکارتی به قرار زیر اندمطلوب است تعیین الف:عامل های مقیاسب:ج:نشان دهید این دستگاه مختصات متعامد استد: رابرای این دستگاه به دست آورید.حل:الف:فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۵۲: ۱۴۹ادامه تمرین۲-۲-۱صفحه۸۴کتاب درسی :ب:ج:فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۵۳: ۱۵۰ادامه تمرین۲-۲-۱صفحه۸۴کتاب درسی :د:فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۵۴: ۱۵۱عملگرهای مشتق برداری در دستگاه های خمیدهشیب یاگرادیان یک تابع:واگرایی یادیورژانس تابع برداری :فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۵۵: ۱۵۲عملگر یالاپلاسی:عملگر تاو(کرل)یک تابع برداری :فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۵۶: ۱۵۳مثال۲-۷صفحه۸۶کتاب درسی:باتوجه به مثال۲-۵ بخش قبلی رابطه شیب تابع را در مختصات کروی به دست آورید.حل:طبق بحث مثال ۲-۵داریمبنابراین با جایگزینی در رابطه (۲-۲۵)داریم:(۲-۲۶)فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۵۷: ۱۵۴مثال۲-۸صفحه۸۶کتاب درسی:باتوجه به مثال۲-۴ بخش۲-۲ رابطه شیب تابع را در مختصات استوانه سهموی به دست آورید.حل:با توجه به مثال مزبور داریم:بنابراین فوری از رابطه (۲-۲۵) داریم:(۲-۲۷)فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۵۸: ۱۵۵مثال۲-۹صفحه۸۶کتاب درسی:از معادله(۲-۱۷)بردارهای یکه متعامد را می توان به کمک رابطه زیر تعریف کرد:(۲-۲۸)وچون است،نشان دهید ازآن رابطه ای برای به دست می آیدکه با معادله (۲-۱۳)سازگار است.حل:ازجایگزینی در رابطه داریم:(۲-۲۹)اما می دانیم پس نتیجه می گیریم :فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۵۹: ۱۵۶ادامه مثال۲-۹صفحه۸۶کتاب درسی:ازجایگزینی این رابطه درمعادله (۲-۲۹)فوری نتیجه می شود:که همان معادله (۲-۱۳)می باشدفصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۶۰: ۱۵۷مثال۲-۱۰صفحه۸۸کتاب درسی:واگرایی نیروی مرکزی کولنی رامحاسبه کنیدحل:چنانکه درآغاز این فصل بیا ن شد، بسته به نوع مسئله وتقارن مربوط، دستگاه مختصات راطوری انتخاب می کنیم که حل مسئله آسان باشد.بادرنظر گرفتن این مطلب، واضح است که برای حل این مسئله، به دلیل تقارن کروی ،دستگاه مختصات کروی بهترین انتخاب است.دراین دستگاه مختصات داریم(مثال۲-۵همین فصل)درنتیجه داریمفصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۶۱: ۱۵۸مثال۲-۱۱صفحه۸۹کتاب درسی:می دانیم عملگر یا لاپلاسی به معنی واگرایی شیب است، یعنی .باتوجه به این تعریف رابطه عملگر را درمختصات خمیده به دست آورید.حل:بنابه رابطه(۲-۲۵)داریماکنون با نشاندن آن درمعادله(۲-۳۲)داریمویا(۲-۳۳)فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۶۲: ۱۵۹مثال۲-۱۲صفحه۸۹کتاب درسی:معادله لاپلاس رادر مختصات استوانه سهموی بیان کنید وتمام جوابهای آن را که به صورت است،به دست آورید.حل:باتوجه به مثال ۲-۴ داریمبا نشاندن آن در رابطه (۲-۳۳)معادله لاپلاس به صورت زیر به دست می آیدفرض می کنیم وبا جایگزینی درمعادله بالا داریمانتگرال آن به نتیجه زیر می رسد یافصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۶۳: ۱۶۰ادامه مثال۲-۱۲صفحه۸۹کتاب درسی:که درآن AوB مقدارهای ثابت اختیاری هستند.سرانجام داریمفصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۶۴: ۱۶۱مثال۲-۱۳صفحه۹۱کتاب درسی:ثابت کنید:که درآن تابع دلخواه خوشرفتار و بردار یکه درامتداد r است.حل:اگرفرض کنیم ،درمختصات کروی داریم،ونیز می دانیمبنابراین طبق رابطه (۲-۳۴)به نتیجه زیر می رسیمفصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۶۵: ۱۶۲تمرین۲-۳-۱صفحه۹۱کتاب درسی :بردار یکه رادرجهت افزایش فرض کنید ونشان دهیدالف:حل:ازمعادله(۲-۳۲)داریم:دراینجا داریم:بنابراینفصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۶۶: ۱۶۳تمرین۲-۳-۲صفحه۹۱کتاب درسی :با استفاده از رابطه (۲-۳۳)، را در مختصات کروی به دست آورید.حل:درمختصات کروی داریم:فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۶۷: ۱۶۴ادامه تمرین۲-۳-۲صفحه۹۱کتاب درسی :بنابراین:فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۶۸: ۱۶۵فصل ۲ دستگاه های مختصاتتست ۳:در دستگاه مختصات قطبی برابر است با:الف: ب:ج: د:حل:رابطه زیر در دستگاه مختصات قطبی کروی برقرار است،برای یافتن پاسخ باید از نسبت به yمشتق بگیریممی دانیم مشتق عبارت است از بنابراین:

اسلاید ۱۶۹: ۱۶۶فصل ۲ دستگاه های مختصاتروابط تبدیل بین دستگاه مختصات کروی ودکارتی به صورت زیر می باشد:با استفاده از روابط تبدیل، برای خواهیم داشتادامه تست ۳:

اسلاید ۱۷۰: ۱۶۷فصل ۲ دستگاه های مختصاتادامه تست ۳:

اسلاید ۱۷۱: ۱۶۸فصل ۲ دستگاه های مختصاتتست ۴:حاصل عبارت برابر است با:الف: ب:صفرج: د:حل:دیورژانس درمختصات کروی به صورت زیر می باشد:حال برای یافتن ابتدا را حساب می کنیم ودرآخر رابه جای قرار می دهیم

اسلاید ۱۷۲: تست ۵:اگر باشدآنگاه برابر است با:الف: ب:ج: د:حل:دیورژانس را درمختصات کروی حل می کنیم:۱۶۹فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۷۳: ۱۷۰دستگاه های مختصات خاصدستگاه مختصات کرویدراین دستگاه ( )به صورت ( )بیان می شوند.دسته سطوحی که این سه مختصه روی آن ها ثابتند. عبارتند از: کره های هم مرکز حول مبدا: ثابت مخروط های دوار قائم،حول محور بارأسی واقع درمبدا: ثابتنیم صفحاتی که ازمحور (قطبی)می گذرند: ثابتفصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۷۴: ۱۷۱روابط تبدیل بین دستگاه های مختصات کروی ودکارتی:به گونه ای که، ازمحور مثبت و درصفحه واز محور مثبت اندازه گیری می شوندودامنه آن هاعبارت است از:عامل های مقیاس درمختصات کروی عبارتند از:فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۷۵: ۱۷۲عنصر حجم درمختصات کروی:عنصرسطحی درمختصات کروی:عنصر زاویه حجمی(فضایی):بردارهای یکه برحسب بردارهای یکه مختصات دکارتی یعنی :فصل ۲ دستگاه های مختصات

اسلاید ۱۷۶: ۱۷۳مثال۲-۱۴صفحه۹۲کتاب درسی:رابطه های تبدیل دستگاه