پاورپوینت کامل ریاضی عمومی (۲) ۴۹۲ اسلاید در PowerPoint

توجه : این فایل به صورت فایل power point (پاور پوینت) ارائه میگردد

 پاورپوینت کامل ریاضی عمومی (۲) ۴۹۲ اسلاید در PowerPoint دارای ۴۹۲ اسلاید می باشد و دارای تنظیمات کامل در PowerPoint می باشد و آماده ارائه یا چاپ است

شما با استفاده ازاین پاورپوینت میتوانید یک ارائه بسیارعالی و با شکوهی داشته باشید و همه حاضرین با اشتیاق به مطالب شما گوش خواهند داد.

لطفا نگران مطالب داخل پاورپوینت نباشید، مطالب داخل اسلاید ها بسیار ساده و قابل درک برای شما می باشد، ما عالی بودن این فایل رو تضمین می کنیم.

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ریختگی احتمالی در متون زیر ،دلیل ان کپی کردن این مطالب از داخل فایل می باشد و در فایل اصلی پاورپوینت کامل ریاضی عمومی (۲) ۴۹۲ اسلاید در PowerPoint،به هیچ وجه بهم ریختگی وجود ندارد

---

بخشی از مطالب داخلی اسلاید ها

پاورپوینت کامل ریاضی عمومی (۲) ۴۹۲ اسلاید در PowerPoint

اسلاید ۴: دنباله و سری از مفاهیم بنیادی حسـاب دیفرانسیل و انتگرال هستند. دانشجو در این درس با این مفاهیـــم ، مفاهیم وابسته و کاربردهای ساده آنها ، نظیر پیدا کردن حد برخی دنباله ها ، به دست آوردن مقدار تقریبی برخی اعداد و … آشنا می شود.هدف کلی از ارائه این فصـل آشنا کردن دانشجو به طوری که مطالعه درسهای آنـالیز ۱ و معــــادلات دیفرانســـیل برای آنان آسانتر و لذت بخشتـــر باشد.فصل اولدنباله ها و سری هاهدفهای کلی

اسلاید ۵: دانشجو پس از مطالعه این فصل باید بتواند :۱- دنباله، دنبـــاله های صعودی،نزولـــی، و یکنــوا را تعــــریف و برای هرکـدام مثالــی ذکر کنــد.۲- دنباله های همگـــــرا و واگــــرا را از هم باز بشنــاسد ، و در هـر مورد مثــال ارائــــه کنـــد.۳- ثـــابت کند که هر دنبــــاله یکنــــوا و کرانـــــدار همگــــراســــت.۴- ثــــابت کند که مجموع ، تفاضـل ، حاصلضرب ، و خـــــارج قسمت دو دنبـــــاله (بـــا مخرج غیر صفر) همگــــرا، دنبـــــاله ای همگـــــراست.هدفهای رفتاری:

اسلاید ۶: ۵- سری، جمــــله عمومی ســــری، مجمــــوع جزئیn ام سری،همگرایی و واگرایـــی ســـری را تعریـــف کنــــد.۶- آزمــون کوشـــی برای همگرایی را را بیان کند و با استفاده از آن آزمون واگـــرایی را نتیجـه بگیرد. ۷- آزمون همگـــرایی سریـــهای با جملـــه های نامنفــی و مجمـــــوع جــزئــی کرانـــــدار را بیـــان کنـــد. ۸- انــــواع آزمونهای همگــــرایی ، آزمون مقایســــه ، آزمون نسبـــت ، آزمون ریشـــــه را بیان کنــــدو از آنها استفــــاده کنــــد.۹- ثابت کند که سری واگرا و سری همگـراست.

اسلاید ۷: ۱۰- سریـــهای متناوب را شناسایی و آزمون همــــگرایی آنها را بیان کند و به کار برد۱۱- همگرایــــی مطلق و مشروط را تعریف کند و نشان دهد که همگــــرایی مطلق همگرایی معمولی را ایجاب می کند .۱۲- سریــــهای توان را تعریف کند . شعاع همگــرایی و بازه همگرایی را برای هـــر ســـری تــــوان را به دســت آورد.۱۳- با سریـــــهای توان روی بازه همگــــرایی به عنوان یک تابع رفتار کند و تشخیـــص دهد که تحت چه شرایطی می توان حد ســـری تـوان را محاسبهکرد ، از آن مشتــــق یا انتـــگرال گرفت.

اسلاید ۸: در ایــن بخش پس از معـــرفی دنبـــاله ، مفاهیم بنیادی وابستـــه به آن را بیــــان مـــی کنیم . در میان این مفاهیم ، همگـــرایی دنبــاله اهمیت ویـــژه ای دارد. در واقـــع، سعی خواهیـــم کرد که به هر دنباله ای عددی نسبــت دهیم ، اگر ایـــن کار امکان پذیر باشد می گوییم دنباله همگراست وگرنه دنبــــاله واگرا نامیده خـــواهد شد. به ایــــن ترتیب ،دنبــــاله ها را بــه دو دستــــه همـــگرا و واگــــرا تقسیــــم مـــی کنیــم. ۱ . ۱ دنباله

اسلاید ۹: ۱ . ۱ . ۱ تعریف فرض کنید A مجمــــوعه ای دلخواه باشد. تابـــع f با قلمرو N و برد A را یک دنباله در A می گوییم.مقـــدار f به ازای n را جمله عمومی دنبـــــاله f می نامیم و معمولا به صورت و…. نشـــان می دهیم.در تعریــف ۱ . ۱ . ۱ اگر A=R یا ¢ A= آنــگاه دنباله را حقیقــی یا مختلط می نامیم.۲ . ۱ . ۱ مثال :الف) دنباله یک دنباله از اعداد حقیقی و لذا یک دنباله حقیقی است . جمله عمومی این دنباله عبارت است از:

اسلاید ۱۰: ۴ . ۱ . ۱ تعریف :می گوییم دنباله حقیقی به عدد l همگراست اگر به ازای هر ، یک عدد طبیعی وجــود داشته باشــد که از نتیـجه می شــود:اگر دنباله به عددی همــگرا نباشـــد واگـــرا نامیـــده مـی شـود.۵ . ۱ . ۱ گزارهاگر دنبـــاله به اعـــداد حقیقـــی l و همگـــرا باشد آنگاه .به عبارت دیگر ، هر دنباله می تواند حداکثر به یک عدد حقیقی همگرا باشد.

اسلاید ۱۱: اثبات:فرض کنید و در تعریف همگرایی را مساوی با انتخاب کنید. در ایــن صـــــــورت وجـــود دارد کـــه از نتیـــجه مــی شود:حال با استفاده از نــامساوی مثلث و نامساوی های فـــوق به ازای داریمواگرا از این رو این یک تناقض است ، ولذا .با استفاده از این گزاره تعریف زیر را داریم.

اسلاید ۱۲: ۶ . ۱ . ۱ تعریف :اگر دنبـــاله به عدد l همگـــرا باشد مــی نویسیــــم:و مـــی گوییم l حد دنبـــاله است . همچنین این نمــاد را وقتــی به واگــــرا باشد نیز به کار می بریم . یعنی اگر به واگــرا باشــد آنگاه :

اسلاید ۱۳: ۷ . ۱ . ۱ مثال :الف) دنباله با به ۰ همگراست.حل:برای مشاهده این امر ، را در نظر بگیرید و قرار دهید . که در آن [ ] نماد جزء صحیح است . در ایـــن صورت از و تعـــریف جزء صحیـــح نتیجه مــی شود که و لذا در نتیجه

اسلاید ۱۴: ۹ . ۱ . ۱ تعریف :الف) دنباله حقیقی را صعـــودی (نــزولی) می نامیم اگر به ازای هر عدد طبیعی n داشته باشیم :ب) دنباله را نا صعـــودی (نا نــــزولی ) می نامیم اگر به ازای هر عدد طبیعی n داشته باشیم:پ) دنباله را که دست کــم در یکـی از ویژگیهای (الف) یا (ب ) صدق کند، یکنوا می نامیم.

اسلاید ۱۵: ت) دنباله را از بالا (پایین) کراندار مــی نامیم اگر عدد نامنفی M وجـــود داشته باشد که به ازای هــــر عدد طبیـعی n داشتـــه باشیم:ث) دنبالــه را کراندار می نامیـم اگر از بالا و از پایین کراندار باشد. دنبـــاله کـــه کرانـــدار نباشــــد ، بیـــکران نامیـــده می شــــود.

اسلاید ۱۶: ۱۰ . ۱. ۱ مثال :الف) دنباله صعودی است . زیرا به ازای هر عدد طبیعی n نامساوی n< n+1 برقرار است . این دنباله بی کران است .زیــرا به ازای هر عدد مثبت M ، و به ازای n=[M] داریم n+1>M .ب) دنباله صعـــودی است ، زیـــرا به ازای n=1 داریـــم:حـــال اگـــر n>1 آنــــگاه با توجـــه به نامســـاوی

اسلاید ۱۷: به ازای هر عدد طبیعی n داریمیعنی صعـــودی است.پ) دنباله نزولی و کراندار است . در واقع به ازای هر عدد طبیعی n داریم نامساوی وسط حاکی از نــــزولی بودن دنبالـه و نامساوی کناری حاکی از کرانــــدار بودن آن هستنــــد.یا

اسلاید ۱۸: ۱۵ . ۱ . ۱ مثال :از مثال ۷ . ۱ . ۱ می دانیم که دنباله با جمله عمومی واگراست. از طرف دیگر به ازای هر n داریم:و لذا این دنباله کراندار است .

اسلاید ۱۹: ۱۹ . ۱ . ۱ تعریف :دنباله را کوشی می نامیم اگر به ازای هر عدد طبیعی وجـــود داشته باشـــد که از نتیجـــه مـــی شود۲۰ . ۱ . ۱ مثال :دنباله کوشی است .حل: را در نظر می گیریم . به ازای هر دو عدد طبیعی n , m داریم

اسلاید ۲۰: و از این رو با انتخاب و با استفاده از نامساوی طرف چپ داریم۲۱. ۱ . ۱ قضیه :اگر یک دنبـــاله همــگرا و بر عکـــس اگر کوشــی باشـــد همـــگرا است . یا به اختـــصار: همــــگراست اگر وتنـــها اگر کـــوشـــی باشـــد.

اسلاید ۲۱: ۲۲ . ۱ . ۱ مثال :الف) دنباله با کوشی است ، زیرا همگراست.ب) چون به ازای ۰<a<1 ، دنباله همگراست ، پس کوشی است .پ) دنباله بی کران ولذا واگراست و بنابراین کوشی نیست .

اسلاید ۲۲: ۲ . ۱ قواعد محاسبه ۱ . ۲ . ۱ قضیه :فرض کنید دنباله های به ترتیب به b , a همگرا باشند و c عددی دلخواه باشد . در این صورتالف) دنباله به a+b همگراست ، یعنیب) دنباله به ab همگراست ، یعنی:به ویژه

اسلاید ۲۳: پ)اگر و به ازای هر n ، آنگاه به همگرا ست ، یعنی۲ . ۲ . ۱ مثال :الف) را محاسبه کنید.حل:فرض کنید . چون پس

اسلاید ۲۴: ب)را محاسبه کنید. حل:می نویسیم:حدهای صورت و مخرج را جداگانه محاسبه می کنیم.بنابراین

اسلاید ۲۵: ۶ . ۲ . ۱ قضیه ساندویچیاگر دنباله هر دو به عـــدد a همـــــگرا باشند ، و دنباله چون به ازای هر n در صدق کند ، آنگاه نیز به همگراست.اثبات: را در نظر بگیرید. بنا به تعریف همگرایی ی وجود دارد که بنابراین اگر آنگاه بنابراین به a همگراست.

اسلاید ۲۶: ۷ . ۲ . ۱ مثال :الف) راپیدا کنید.حل:به ازای هر n داریمو لذا به ازای هر n داریمچون پس

اسلاید ۲۷: ب) ثابت کنید . حل:دنباله را به صورت تعریف می کنیم . روشن است که به ازای هر n ، . داریم:بنابراین به ازای داریمیا

اسلاید ۲۸: چون پس . بنابراین ۸ . ۲ . ۱ قضیه :فرض کنید تابع رویD پیوسته و دنباله ای از اعضای D باشد که به همگراست . در این صورت دنباله بهf(a) همگراست.

اسلاید ۲۹: ۹ . ۲ . ۱ مثال :الف) تابــــع (رادیـــکال)روی پیــــوسته است . بنابراین داریمب) می دانیــــم که تابــــع f(x)=ln(1+x) روی x >-1 پیوستــــه است . همچنین می دانیم که . بنابراین همگراست و داریم:

اسلاید ۳۰: ۱ . ۳ سریشرکتپذیری عمل جمع روی مجموعـــــه اعداد حقیقی (مختلط) موجب می شود که مجمــــوع هر تعداد متنــــاهی از اعـــداد معنـــی دار باشد و به روش یکتایــی به صورت نشان داده شــود. با وجود این، مجمـــوع بینهایت عــدد دارای معنای روشنـی نیست. در این قسمت مفهوم مجمــــوع بینهایت عدد را با معرفی سـری ارائـــه مــی دهیم.

اسلاید ۳۱: ۱ . ۳ . ۱ تعریف :به دنباله دنباله جدید را با تعریف نسبت می دهیم. این دنباله جدید را یک سری می نامیم، و آن را با نشان مــی دهیم و می خوانیم « سیـــگمای » . را جمله عمـــومی ســــری و را مجموع جزئی nام آن می نامیم. گاه دنباله را دنباله مجموعهای جزئی ســـری می نامیم. توجه کنید که اگر تعریف کنیم آنگاه

اسلاید ۳۲: ۲ . ۳ . ۱ مثال :فرض کنید داریمتوجه کنید که برای محاسبه از فرمول تصاعد هندسی استفاده کرده ایم.

اسلاید ۳۳: ۴ . ۳ . ۱ تعریف :سری را همـــگرا می نامیم اگر دنبالـــــه مجموعهای جزئی آن همـــگرا باشد.درغیر این صورت سری را واگــرا می نامیم. اگر یعنی دنبالـــــه مجموعهای جزئی سری به S همگرا باشد ، S را مجموع ســـری مــــی نامیم و می نویسیـــــم.

اسلاید ۳۴: ۵ .۳ . ۱ مثال :الف) دنبالــــه مجموعهای جزئی سری را می نامیـــم. در مثال ۲ . ۳ . ۱ دیدیم که و یاچون پس و لذا سری همگـراست و داریم

اسلاید ۳۵: ۶ . ۳ . ۱ شرط کوشی برای همگرایی سری همگراست اگر و تنها اگر به ازای هر ، عدد طبیعی یـــافت شـــود که به ازای هر و هر داشتــه باشیــــماین شرط را شرط کوشـــی برای همگـــرایی سـری مـــی نامیم .یکی از نتایج بسیار مهم شرط کوشـــی را که نوعی آزمون واگـــرایی است در زیر می آوریم.

اسلاید ۳۶: ۷ . ۳ . ۱ نتیجه اگر سری همگرا باشد ، آنگاه . به بیــان دیـــگر اگر آنگاه ســـری واگـــراست .توجه کنید که عکــس نتیجـــه فوق نادرست است . بدین معنـــی کهســـری واگــــــرایی چون با شـــرط وجـــــود دارد .متذکر مـی شویـــم که نتیجـــه و نکته فوق حاکــی از آن اند که برای پیدا کردن ســــریهای همگرا باید در میـان سریهایـــی بگردیـــم که حد جملـــه عمــومی آنها صفـــر است .

اسلاید ۳۷: ۸ . ۳ . ۱ مثال :الف)می دانیـــم که ســـری موزون واگــــراست . روشــــن است کـــه . ب) سری واگراست ، زیرا . پ) ســـری واگــراست زیرا وجــود ندارد.ت) بنابر مثـال ۵ . ۳ . ۱ (پ) ســـری همــــگراست و بنابــــراین در شـــرط کوشـــی صدق مـــی کند.

اسلاید ۳۸: در زیر دستـــه ای از سریها را که کاربردهای فراوان دارند معرفی می کنیم.ت) بنابر مثال ۵ . ۳ . ۱ (الف) سـری همــــگراست و بنابراین در شرط کوشی صدق می کند.۹ . ۳ . ۱ تعریف :ســـری هنـــدسی. فرض کنید a عـــددی ثابت باشد . ســـــری را یک ســــری هندســـی با قدر نسبت a می نامیم. چـون به ازای هر a ، با حد وجـــود ندارد یا نامتناهـــی است ، پس ســری هندسی به ازای هر a با شرط واگراست .

اسلاید ۳۹: ۴ . ۱ جبر سریهابا استفــاده از عمــــلهای جمع ، ضرب ، تفریق ، تقسیم و … اعـــداد حقیقی می توان از سریـــهای داده شده ، سریــــهای جدیدی به دست آورد . در این قسمت همگـــرایی یا واگـــرایی برخی از این سریـهای جدید را مورد بحث وبررســـی قرار می دهیــــم .

اسلاید ۴۰: ۱ . ۴ . ۱ تعریف :فرض کنید دو سری حقــیقــی و c عددی حقــیقـی باشد.الف) سری را مجموع سریــــهای مـــی نامیم.ب) سری را حاصلضرب عدد c در سری مـــی نامیم.

اسلاید ۴۱: ۲ . ۴ . ۱ قضیه :اگر سریــــهای همـــگرا و c عـــددی دلخواه باشد ، آنگاه سریهای همـــگرا هستنــد و داریـــم

اسلاید ۴۲: ۳ . ۴ . ۱ مثال :می دانیم که سریــــهای همـــگرا هستنـــد،بنابراین سریهای همــگرا هستند.و داریم

اسلاید ۴۳: ۴ . ۴ . ۱ قضیه :دنباله ، جمله های از آن و اعداد را که در آنها k , m اعداد ثابت هستند در نظر می گیریم .الف ) اگر همگرا (واگرا ) باشد آنگاه همگرا (واگرا) است . یعنی حذف تعداد متناهی جمله از اول سری در همگــــرایی (واگـرایی) آن تاثیری ندارد.ب) سری را به صورت زیر تعریف می کنیم:

اسلاید ۴۴: در این صورت ، همگراست (واگراست ) اگـــر و تنها اگر همگرا (واگرا ) باشد . یعنی اضافه کردن تعداد متناهی جمله به اول سری همگرایی آن را تغییر نمی دهد.۵ . ۴ . ۱ مثال :الف) سری همگـــراست . بنابر قضیه فوق ســری همگراست و داریم:ب) سری واگراست و لذا سری واگراست .

اسلاید ۴۵: ۵ . ۱ همگرایی مطلق ، همگرایی مشروطدر این قسمت سری های با جمله های نامنفی و سریهای متناوب را که جمله های آنها به طور متوالی مثبت و منفی هستند ، معرفی می کنیم . سریهای با جمله های نامنفی (مثبت) نقش بسیار مهمی در نظریه سریها دارند.۱ . ۵ . ۱ تعریف :سری را که در آن تمام ها نامنفی هستند ، یک سری متناوب می نامیم.

اسلاید ۴۶: ۲ . ۵ . ۱ مثال :الف) سری یک سری متناوب است . در اینجا به ازای هر n ، این سری واگراست .ب) سری متناوب است . نشان می دهیم که این سری همگراست .برای این منظور فرض می کنیم که مجموع جزئی nام سری باشد ثابت می شود که همگراست .

اسلاید ۴۷: ۴ . ۵ . ۱ تعریف :اگر تمام جمله سری نامنفی باشند ، ســـری را با جمله های نامنفی می نامیم.۵ . ۵ . ۱ قضیه :سری با جمله های نامنفی همگراست اگر دنباله مجموعهای جزئی آن کراندار باشند.اثبات:قرار می دهیم:چون به ازای هر n ، ، پس صعودی است و لذا همگراست . در نتیجه سری همگراست .

اسلاید ۴۸: ۶ . ۵ . ۱ مثال :الف) فرض کنیددر این صورت سری یک سری با جمله های نامنفی است . چند مجموع جزئی این سری عبارت اند از به راحتی می توان دید که و لذا بی کران و بنابراین واگراست .زوجفرد

اسلاید ۴۹: ب) یک ســـری با جملـــــه های مثبت است . داریــــممشاهده می کنیم که به ازای هر n ، ، و لذا سری مذکور همگراست .۷ . ۵ . ۱ تعریف :سری را همگرای مطلق می نامیم اگر سری همگرا باشد. سری را همگرای مشروط می نامیم اگر همگرا و سری واگرا باشد .

اسلاید ۵۰: ۹ . ۵ . ۱ مثال :الف) در مثال ۲ . ۵ . ۱ دیدیم که سری همگراست . همچنین در مثال ۵ . ۳ . ۱ دیدیم که سری واگراست . بنابراین سری همگرای مشروط است .ب) سری همگرای مطلق است . زیرا بنابر مثال ۵ . ۳ . ۱ (پ) سری همگراست .

اسلاید ۵۱: ۶ . ۱ آزمونهای همگراییتا کنون چند قضیه برای تعیین همگرایی یا واگرایی سریها ارائه داده ایم. این قضیه ها عبارت اند از :الف) اگر یا اگر وجود نداشته باشند آنگاه سری واگراست (نتیجه ۷ . ۳ . ۱ )ب) شرط کوشی برای همگرایی (قضیه ۶ . ۳ . ۱)پ) اگر دنباله مجموعهای جزئی سری با جمله های نامنفی کراندار باشد آنگاه سری همگراست (قضیه ۵ . ۵ . ۱)ت) اگر همگرا باشد آنگاه همگراست (قضیه ۱۰ . ۵ . ۱).در این قسمت ابزارهایی برای تعیین همگرایی سریهای ارائه می دهیم که متکی بر جمله های عمومی سریها هستند.

اسلاید ۵۲: ۱ . ۶ . ۱ قضیه (آزمون مقایسه)سریهای با جمله های نا منفی را در نظر بگیریدو فرض کنید به ازای هر n ، الف) اگر همگرا باشد، آنگاه همگراست .ب) اگر واگرا باشد ، آنگاه واگراست .

اسلاید ۵۳: ۲ . ۶ . ۱ مثال :اگر آنگاه سری واگراست .حل:به ازای داریم:و لذا بنابر نتیجه ۷ . ۳ . ۱ سری واگراست .به ازای p=1 ســـری موزون به دست مـــی آید که واگــــراست .حال فـــرض مـــی کنیم ۰<p<1 . در ایــــن صورت داریــــم :و از این رو چون واگراست ، پس بنابر آزمون مقایسه نیز واگراست .

اسلاید ۵۴: ۴ . ۶ . ۱ قضیه (صورت حدی آزمون مقایسه)فرض کنید در مورد سریهای با جمله های نامنفی داشته باشیم:الف)ب)در این صورت اگر الف) آنگاه سریهای از یک نوع هستند.ب) یا آنگاه نوع یک سری تعیین کننده نوع سری دیگر نیست.

اسلاید ۵۵: ۵ . ۶ . ۱ مثال :الف) سری واگراست . در واقع داریم:چون واگراست پس سری نیز واگـــراست .ب) سری همگراست ، زیرا همگراست و داریم

اسلاید ۵۶: ۷ . ۶ . ۱ قضیه (آزمون نسبت یا آزمون دالامبر)فرض کنید به ازای هر n، و اگرالف) a <1 آنگاه همگراست .ب) a >1 آنگاه واگراست .پ) a =1 سری در مواردی همگرا و در مواردی واگراست .

اسلاید ۵۷: ۸ . ۶ . ۱ مثال :الف) به ازای چه مقادیری از x ، سری همگراست . حل:روشن است که ســـری به ازای x =0 همگراست . زیـــرا در این حالت سری به صورت زیر در می آید.۱+۰+۰+۰+…لذا فرض مـــی کنیم و به جای سـری داده شده ، سری را در نظر می گیریم. داریم:بنابراین ســـری به ازای هر x همگـــراست ، و لذا ســــری به ازای هر x همگرای مطلق است .

اسلاید ۵۸: ۱۳ . ۶ . ۱ قضیه (آزمون انتگرال )سری با جمله های نامنفی و تابع با شرایط زیر را در نظر بگیرید .الف) f روی پیوسته و نامنفی است .ب) به ازای هر پ)f روی نزولی است و دراین صورت انتگرال ناسره همگراست اگر و تنها اگر سری همگرا باشد .

اسلاید ۵۹: ۱۴ . ۶ . ۱ مثال :به ازای p >0 دنباله با و تابع با دامنه نزولی هستند و داریم:بنابراین انتگرال به ازای p>1 همگرا و به ازای واگراست . در نتیجه سری به ازای p>1 همگـــرا و به ازای واگـــراست .

اسلاید ۶۰: ۷ . ۱ سری توان۱ . ۷ . ۱ تعریف دنباله توابعرا که در آن یک دنباله و c عددی ثابت است ، در نظر می گیریم. سری را یک سری توان و دنباله را دنبالــه ضرایب آن می نامیم.

اسلاید ۶۱: توجه کنید که سری توان به ازای هر عدد x = r به یک سری عددی تبدیل می شود.توجه تعیین مقادیری از x که به ازای آن همگــراست حائز اهمیت است .۲ . ۷ . ۱ مثال :سری یک سری توان است . در این سری c =0 ، و این سری به ازای x=2 , , x=1 , x=0 به ترتیب به سریـــهای عددیتبدیل می شود.

اسلاید ۶۲: اگر آنگاه سری همگراست و داریم:لذا سری مذکور روی بازه (-۱ , ۱) یک تابع تعریف می کند. این تابع عبارت است از f(x) را مجموع سری توان می نامیم و می نویسیم:

اسلاید ۶۳: ۶ . ۷ . ۱ قضیه :فرض کنید سری توان به ازای همگرا و به ازای x=s واگرا باشد . دنباله این صورتالف) سری به ازای هر x با شرط همگرای مطلق است .ب) ســـــری به ازای هر x با شـــــرط واگـــراست .

اسلاید ۶۴: ۹ . ۷ . ۱ قضیه :به ازای هر سری توان تنها یکـــــی از موارد زیـــر درست است :الف) این ســـری فقط به ازای x=0 همـــــگراست .ب) این سری به ازای هر همگرای مطلق است .پ) عدد مثبت r وجود دارد که به ازای هر همگرای مطلق است ، و بــــه ازای هر x با شـــرط واگـــراست .متذکر می شویم که رفتار سری در نقاط باید جــــداگانه بررسی شــــود . با توجه به این قضیـــه تعریف زیــــر را می آوریم:

اسلاید ۶۵: ۱۰ . ۷ . ۱ تعریف :عدد r در قسمت (پ) قضیــــه فــوق را شعاع همگـــرایی ســــری می نامیم.اگر فقط به ازای x=0 همگــرا باشد ، شعاع همگـــرایی آن را x=0 تعریف می کنیم اگر به ازای تمام xها همگــرا باشد ، شعاع همـگرایی آن را تعریف می کنیم.توجه می کنیم که اگـــر شعاع همگــرایی سری باشد آنگاه مجموعه همگـــرایی این ســـــری توان به صورت یــــکی از بازه های, (-r , r],[-r , r] , (-r , r) , [-r , r) است.

اسلاید ۶۶: و اگـر آنگاه مجموعه همگـــــرایی سری برابر است با بازه .در r=0 مجموعه همگـــــرایی عبارت است از {۰} که بازه ای به طــــول صفر است . ملاحظه مـــی کنیم که در هر مورد مجمــوعه همگرایی یک بازه است . این بازه را بازه همگرایی سری می نامیم.توجه :آزمون نسبت برای به دست آوردن شعاع همگرایی روش بسیار نیرومند است .

اسلاید ۶۷: در سری هر گاه آنگاه آنگاهr شعاع همگرایی سری توان داده شده است .

اسلاید ۶۸: ۱۱ . ۷ . ۱ مثال :شعاع و بازه همگرایی سری را پیدا کنید.و لذا شعاع همگرایی سری است.سری به ازای x=-1 , x=1 و به ترتیب عبارت است ازحل:داریم

اسلاید ۶۹: آزمون مقایسه نشان می دهد که این سریها همگرا هستند . یعنی بازه همگرایی سری توان داده شده [-۱ , ۱] است . این بدان معناست که سری توان داده شده روی بازه[-۱ , ۱ ] یک تابع تعریف می کند یعنی به ازای هر عددی چون f(x) وجود دارد که

اسلاید ۷۰: ۸ . ۱ پیوستگی ، مشتق و انتگرال سری توانبه طوری که در قسمت قبل دیدیم هر سری توان روی بازه همگرایی خود یک تابع معرفی می کند . به عبارت دقیقتــــر ، اگرI بازه همگرایی سری توان باشد ، آنگاه به ازای هر عددی چون f(t) وجود دارد که مجموع سری برابر با f(t) است .هدف این قسمت مطالعه ویژگیهای تابـــع f(t) با توجه به ویژگیهای دنباله توابع «بسیار ساده» است .

اسلاید ۷۱: ۲ . ۸ . ۱ قضیه :اگرr شعاع همگرایی سری باشد ، آنگاه تابع روی بازه (-r , r) پیوسته است . به عبارت دیگر ، به ازای هر داریم

اسلاید ۷۲: ۳ . ۸ . ۱ مثال :الف) بازه همگرایی سری ، بـــرابـــر است با [-۱ , ۱) بنابراین تابع روی بازه (-۱ , ۱) پیوسته است . ب) بازه همگرایی سری بـــرابــر است با بنابراین تابع روی R پیوسته است .

اسلاید ۷۳: ۴ . ۸ . ۱ قضیه :اگر r شعاع همگرایی سری توان باشد ، آنگاه به ازای هر داریم:به علاوه شعاع همگرایی سری توان طرف راست این برابری مساوی است با r .

اسلاید ۷۴: ۶ . ۸ . ۱ نتیجه :اگر r شعاع همگرایی سری توان ، و k عددی طبیعی باشد ، آنگاه مشتق k ام تابع f در هر نقطه در رابطه زیر صدق می کندبه علاوه شعاع همگرایی سری توان طرف راست برابر است با r .

اسلاید ۷۵: ۷ . ۸ . ۱ مثال :می دانیم کهبنابراین به ازای هر-۱< x <1 داریم

اسلاید ۷۶: ۹ . ۸ . ۱ قضیه :اگر r شعاع همگرایی سری توان باشد و با a<b . آنگاه :به ویژه اگر b=t , a=0 آنگاه :به علاوه شعاع همگــــرایی ســـری توان طــــرف چپ مساوی است با r . به بیان دیگر از سری توان در بازه همگرایی می توان جمله به جمله انتگرال گــــرفت و انتگــــرال ســـری توان را بـــه دست آورد .

اسلاید ۷۷: ۱۰ . ۸ . ۱ مثال :میدانیم کهو لذا بنابر قضیه فوق داریمبرای مثال داریم

اسلاید ۷۸: ۱۲ . ۸ . ۱ سری دو جمله ایمی دانیم که به ازای هر عدد صحیح و مثبت n سوال این است که اگر به جایn در طرف چپ عــــدد غیر صحیح مثبتی قرار دهیم در طرف راست چه تغییراتی باید اعمال کنیم ؟ برای این منظور نشان می دهیمکه اگر m عـــددی حقیقی و مثبت باشد، آنگاه سری توان که به سری دو جمله ای موسوم است ، روی (-۱ , ۱) به تابعــی چون f(x) همگراست .یعنی:

اسلاید ۷۹: ۱۳ . ۸ . ۱ مثال :سری دو جمله ای معرف تابع را به دست می آوریم.حل:در اینجا ، ولذا حال اگر در این برابری قرار دهیم سریرا که به همگراست به دست می آوریم.

اسلاید ۸۰: ۱۴ . ۸ . ۱ مثال :با استفاده از دستور دو جمله ای معرف سری توان تابع را به دست می آوریم.حل:می دانیم کهاکنون تابع زیر علامت انتگــــرال ، یعنی را به صورت سـری توان می نویسیم برای این منظور می نویسیم:

اسلاید ۸۱: این برابری پس از ساده کردن طرف دوم به برابری زیر تبدیل می شود .حال اگر در دو طرف این برابری x را به تبدیل کنیم به دست می آوریم:از دو طرف این برابری انتگرال می گیریم و به دست می آوریم:حال با قرار دادن داریم:

اسلاید ۸۲: ۹ . ۱ بسط تیلور ، سری تیلوردر قسمت قبل دیدیم که هر ســـری تــــوان در بازه بازی معرف یــک تابع بـــی نهــایت بار مشتــــق پذیر است . همچنین دیدیم که به تابع می توان یک سری توان ، که در بازه (-۱ , ۱) همگـراست ، نسبت داد. در این قسمت بحث اخیر را ادامه می دهیم، یعنی سعی می کنیم به هر تابع مناسب یک ســــری تــــوان نسبت بدهیم.

اسلاید ۸۳: ۱ . ۹ . ۱ قضیه :اگر سری توان معرف تابع f(x) در فاصله (a-r , a+r) باشد و r>0 ، آنگاه با فرض داریم:۲ . ۹ . ۱ قضیه (تیلور)فرض کنید مشتق های مرتبه اول ، دوم ، …، (n+1)ام تابعf روی بازه باز I پیوسته باشند. اگر آنگاه tی بین x , a وجود دارد به طوری که :

اسلاید ۸۴: با توجه به این قضیه تعریف زیر را می آوریم:۳ . ۹ . ۱ تعریف :عبارت طــــرف راست برابری موجــود در قضیه ۲ . ۹ . ۱ را بسط تیلــــور f در نقطــــه a می نامیم . چنـــد جمله ای را چنـد جمله ای مرتبه nام تیلور f و عبارت را باقــــی مانده مرتبه nام تیلور f در a می نامیم. صورت لاگرانژی یا صورت مشتقـــی باقی مانده نیز نامیده مــــی شود .

اسلاید ۸۵: ۶ . ۹ . ۱ تعریف :اگر تمام مشتقهای تابع f در نقطه x =a وجود داشته باشند آنگاه ســری تــوان را سری تیلور f در نقطه x =a می نامیم. سـری تیلور f در نقطه a=0 را ســری مک لورن f می نامیم.در مثال ۴ . ۹ . ۱ سریهای مک لورن توابعرا پیدا و مشاهده کردیم که این سریها در هـــر نقطه به خود این توابع همگرا هستند ، یعنی:توجه :مثال زیر نشان مــی دهد که این حکم در مورد تمام ســـریهای تیلور درست نیست.

اسلاید ۸۶: ۷ . ۹ . ۱ مثال :سری مک لورن تابعرا به دست می آوریم.حل:به ازای داریم:که در آن یک چند جملـــه ای از درجه ۳n است .

اسلاید ۸۷: به ازای x=0 با استفاده از دستــــور هوپیتال داریــــم:و به طور کلی با توجه به داریمدر نتیجه سری مک لورن تابع f عبارت است از :

اسلاید ۸۸: ۱۰ . ۱ کاربردهای بسط تیلور و سری تیلور در این قسمت چند کاربرد ساده از بسط و سری تیلور را بیان می کنیم. این کاربردها عبارت اند از :رابطه قضیه تیلور با قضیه میانگین ، تعیین نوع نقاط بحرانی توابع ،همچنین تقریب برخی اعداد و محاسبه حد برخی توابع.

اسلاید ۸۹: ۴. ۱۰ . ۱مثال را محاسبه کنید.حل:سری مک لورن تابع ln(x+1) عبارتست ازبنابراینچون تابعروی بازه (-۱, ۱] پیوسته است، داریمو ازاین رو

اسلاید ۹۰: فصل دومهندسه تحلیلیهدفهای کلیرنه دکارت ریاضیدان و فیلسوف فرانسوی در سال ۱۶۳۷با انتشار کتابGeometric مبانی هندسه تحلیلی را معرفی کرد. هـــدف وی ازاین کار حل مسائل هندسی با استفاده از روش های جــــبری بود وبی تردید نوآوری دکارت گام بلندی در تغییر شیوه نگرش به موجودات ریاضی ، تجدید حیات هندسه، وبه وجود آمدن هندسه های جدید بود.بااین نو آوری نقطه جای خود را به دوتایی ،سه تایی یاچندتایی مرتباز اعداد داد و بر عکس . مفهوم فاصله بین دو نقطه و حاسبات هندسیناشی از آن با دقت بسیاری بیان شد.

اسلاید ۹۱: خط و صفحه و…. با زیر مجموعه های خاصی از مجموعه های شناخته شدهمتناطر و به یک معنا با آنهایکی شدندو…هدف های کلی از ارائه این فصل عبارت اند از:آشنا کردن دانشجویان با این قسمت از ریاضیات.استفاده از روش های جبری برای برخی از مسائل هندسی.آماده کردن دانشجویان برای دروس ریاضی آینده از جمله ریاضی عمومی ۳هدفهای رفتاریدانشجو پس از مطالعه این فصل بایدبتواندتعریف بردار و مفاهیم وابسته به آن در صفحه و فضا را بداند.اعمال روی بردارها را بداند وآنها را به کار ببرد.بردارهای یکه فضایی و مسطح را بشناسد، دستگاههای مختصات راستگرد وچچپگرد را بشناسد ودر مواقع لزوم به کار ببرد.

اسلاید ۹۲: فاصله دو نقطه ، کره و معادله کره را بداند و بنویسد.حاصلضرب داخلی دو بردار و تمام مفاهیم وابسته به آن را بداندو به کار ببرد.معادله های دکارتی و پارامتری خطها را بداند ووضع نسبی دو خط را بشناسد.حاصلضرب خارجی و تمام ویژگی های آن رادرموارد مختلف از جمله محاسبهمساحت مثلث ، تشکیل کنج توسط سه بردار ، فاصله خطهای متنافر و … به کار ببرد.زاویه بین دو خط و یک خط ویک صفحه را محاسبه کند.شرط متنافر بودن دو خط ، شرط واقع نشدن سه خط بردار یک صفــحه رابداند و از آنها استفاده کند.

اسلاید ۹۳: ۲. ۱. ۲ تعریف فاصله دو نقطه A و B به ترتیب با مختصات (a,b) و (x,y) را با نمادنشان می دهم و به صورتتعریف می کنیم.به این ترتیب اگر طول بردار B A باشد، داریم۱. ۲ بردار در صفحه

اسلاید ۹۴: ۳. ۱. ۲ مثالاگر A(2, 3) ، B(5, 0) آنگاه اندازه بردار های که در آن O مبدا مختصات است، عبارت است از:

اسلاید ۹۵: ۴. ۱. ۲ تعریف دو بردار و را همسنگ می گوئیم ومی نویسیم ~ اگر اندازه وجهت آنها یکی باشدچها ربردار هم سنگ

اسلاید ۹۶: ۷. ۱. ۲ تعریف (جمع دو بردار )منظور از مجموع دو بردار برداری چون است به طوری که قطر متوازی الاضلاعی است که اضلاع مجاور آن هستند. مجموع دو بردار را بانشان می دهیم .aba+bمجموع دو بردار

اسلاید ۹۷: ۸. ۱. ۲ قضیه فرض کنید سه بردار با مبدا O باشند. در این صورت الف) یعنی عمل جمع برداری جا بجایی است. بنابراینمجموع دو بردار مستقل از ترتیب آنها ست. ب) ، یعنی عمل جمع برداری شرکتپذیر است . بنابراین مجموع سه بردار مستقل از پرانتزگذاری است و لذا مجموع سهبردار مذکور رابا نشان می دهیم.

اسلاید ۹۸: پ) ، یعنی بردار وجود دارد که با هر برداری جمعشود ، حاصل خود آن بردار می شود. را بردار صفر می نامیم و با نشان می دهیم. ت) بردار وجودداردکه را قرینه می نامیم و با نشان می دهیم.

اسلاید ۹۹: ۹. ۱. ۲ تعریف (ضرب عدد در بردار)به ازای عدد و بردار منظور از حاصلضرب در برداری چوناست به طوری است که الف) . یعنی اندازه برابر اندازه است. ب) هم جهت اند اگر و در خلاف جهت هم هستند اگر حاصلضرب در را با نشان می دهیم. به این ترتیب داریم

اسلاید ۱۰۰: ۱۱. ۱. ۲ قضیه (ویژگی های ضرب عدد در بردار)اگر و دو عدد و و دو بردار باشند آنگاه الف) ب) ،یعنی ضرب عدد در بردار نسبت به جمعبرداری پخش پذیر است. پ) ت)

اسلاید ۱۰۱: اثبات الف) بنا به تعریف روشن است. ب) فرض می کنیم . شکل زیر درستی رابطهرا نشان می دهد. در این شکل مثلث های OAC و متشابه اند وoxyACBa

اسلاید ۱۰۲: ۱۳. ۱. ۲ تعریف هر بردار به طول واحد را یک بردار یکه می نامیم . خطی که بردار جزئیاز آن است خط حامل این بردار نامیده می شود. oxyjiAyjxiبردارهای یکه متعارفیj , i

اسلاید ۱۰۳: ۱۴. ۱. ۲ تعریفاعداد x و y در بردار را به ترتیب مولفه های افقی وقائم بردار و بردارهایxi و yj را به ترتیب تصویر های افقی وقائم بردار می نامیم.۱۵. ۱. ۲ مثالبردارهای و و عدد را در نظر بگیرید.می خواهیم مولفه های افقی و قائم بردارهای را تعیین کنیم.

اسلاید ۱۰۴: حل:داریم۱۶. ۱. ۲ تعریف (تفریق دو بردار)بردار را تفریق از می نامیم و آن را به صورت نشان می دهیم.

اسلاید ۱۰۵: EoxyAB

اسلاید ۱۰۶: سه محور ox, oy , oz را که در نقطه o دو به دو بر هم عمودند، در نظرمی گیریم. این محورها نسبت به هم به نحوه های مختلفی قرار می گیرند.در شکل زیر روش قرار گرفتن آنها را مشاهده می کنیم.xyzxyozzxyooاین روشهای قرار گرفتن را اصلاً می توان به دو دسته افراز کرد: راستگرد و چپگرد۲. ۲ مختصات فضایی

اسلاید ۱۰۷: ۱. ۲. ۲ تعریف سه تایی مرتب(ox,oy,oz) را یک دستگاه راستگرد می نامیم اگر ناظری که درنقطه O ایستاده است و سرش در جهت z قرار دارد و به y نگاه می کند ، x رادر طرف راست خود ببیند. دستگاهی را که راستگرد نباشد، چپگرد می نامیم. yzoxxzyoدستگاه چپگرددستگاه راستگرد

اسلاید ۱۰۸: از این به بعد با دستگاههای راستگرد سرو کار خواهیم داشت.دستگاه راستگرد را با oxyz یا به ختصارxyz نشان خواهیم داد و آن رادستگاهxyz خواهیم خواند.در نتیجه با استفاده از دستگاه راستگرد xyz به هر نقطه A از فضا یک سه تاییمرتب (a,b,c) از اعداد حقیقی نظیر می شود. c , b, a را به ترتیب –x مختــص،-y مختص و –zمختص نقطه A می نامیم.به دلیل این تناظراست که گاه نقطهA را با سه تایی مرتب (a,b,c) یکی می گیریم و می نویسیم A=(a,b,c) ، ونیــزگاه می نویسیم A(a,b,c) ، بدین معنی که نقطه A به ترتیب دارای-x مختص،-y مختص و –z مختص c, b, a است.

اسلاید ۱دستگاه مختصات xyz bBacvA(a,b,c)

اسلاید ۱۱۰: ۲. ۲. ۲ تعریف دستگاه xyz را یک دستگاه مختصات دکارتی برای فضا وعددهای a, b, c رامختصات نقطه A می نامیم .۴. ۲. ۲ مثالصفحه xoy در فضا متناطر است با مجموعه نقاطبنابراین ، معادله z = 0 را معادله صفحه xoy می نامیم. بدین معنی که هر نقطه واقع بر صفحه xoy دارای مختصات x وy و z = 0 است.به همین ترتیب x = 0 معادله صفحه yoz است. یعنی هر نقطه واقع بر صفحه yozدارای مختصات x = 0 و y و z است . و نیز y = 0 معادله صفحه xoz است.

اسلاید ۱۱۱: ۵. ۲. ۲ تعریف صفحه هایzox , yoz , xoy را که معادله های آنها به ترتیب 0y = 0 z = 0, x = است ، صفحه مختصات می نامیم.توجه کنید که منظور از اصطلاح صفحه z = 0 ، صفحه xoy است.در شکل اسلاید بعدی صفحه های مختصات را نشان داده ایم.

اسلاید ۱۱۲: x=0z=0y=0صفحه های مختصات

اسلاید ۱۱۳: A(2, 2, 4)B(1, -1, 5)C(-2, 4, -4)

اسلاید ۱۱۴: ۹. ۲. ۲ تعریف اگر B(x,y,z) , A(a,b,c) دو نقطه در فضا باشند، فاصله آنها را با نشان می دهیم و تعریف می کنیم *توجه کنید که بنا بر این تعریف داریمو لذا فاصله B از A مساوی است با فاصله A از B ، یعنی

اسلاید ۱۱۵: ۱۰. ۲. ۲ قضیه به ازای سه نقطه A(a,b,c) و C(x,y,z) رابطه زیر برقرار است.یعنی اگر ABC یک مثاث در فضا باشد، آنگاه طول هر ضلع آن از مجموع دوضلع دیگرش بیشتر نیست، و لذا نابرابری * را نابرابری مثلث می نامیم.۱۱. ۲. ۲ مثالفاصله نقطه های B(1, 2, 3) , A(1,-1, 1) برابراست با

اسلاید ۱۱۶: ۱۳. ۲. ۲ تعریف (کره)کره ای به مرکز C(a,b,c) و شعاع r ، مجموعه نقاطی چون X(x,y,z) در فضااست به طوریکهبه عبارت دیگر مجموعه را کره به مرکز(a,b,c) و شعاع r می نامیم.معادله یارا معادله کره می نامیم.

اسلاید ۱۱۷: معمولاً کره را با معادله اش می خوانیم و مثلاً می گو ئیم کرهمی گوئیم نقطه X(x,y,z) در داخل کره واقع است اگر در نابرابریصدق کند. به همین ترتیب X(x,y,z) در خارج کره است اگرمجموعه نقاط واقع در داخل (خارج) کره را داخل کره ( خارج کره) می نامیم.

اسلاید ۱۱۸: ۱۴. ۲. ۲ مثال الف) معادله کره ای به مرکز (۰,۰,۰) و شعاع ۲ عبارت است ازداخل این کره ، مجموعه نقاط X(x,y,z) است به طوری که در شکل زیر کره را نمایش داده ایم.xzyro

اسلاید ۱۱۹: ۳. ۲ بردارهای فضایی۱. ۳. ۲ تعریف ( بردارهای یکه متعارفی)با فرض اندازه هر یک از این بردارها برابر ۱ می باشد.این بردارها بردارهای یکه متعارف نامیده می شوند .اگر بردارهای فضایی داده شده باشد، و نقطه A انتهای این بردار، دارایمختصات A(a,b,c) باشد، آنگاهدر نتیجه به هر نقطه فضا یک بردار فضایی به مبداO وبه هر بردار فضایی با مبدا O فقط یک نقطه در فضا می توان نسبت داد.

اسلاید ۱۲۰: ۳. ۳. ۲ تعریف الف) به ازای بردار فضاییعددهای c, b, a را به ترتیب –k , -j , -i مولفه های می نامیم. ب) می گو ئیم دو بردار فضایی برابرند و می نویسیم اگر مولفه های همنام آنها برابر باشند ، یعنی ، دو برداربرابرند اگر واتنها اگر z = c , y = b , x = a .به عبارت دیگر دو بردار برابرند اگر قابل تشخیص نباشند.

اسلاید ۱۲۱: ۵. ۳. ۲ تعریف فرض می کنیم دو بردار فضایی و عددی حقیقی باشد. الف) منظور از مجموع دو بردار برداری است چون به طوری که ب) منظور از حاصلضرب در بردار ، برداری است چون که به صورت زیر تعریف می شود:

اسلاید ۱۲۲: ۶. ۳. ۲ مثال به ازای بردارهای و عدد ، بردارهای را به دست آورید.

اسلاید ۱۲۳: ۹. ۳. ۲ مثالفرض می کنیم الف) معادله را حل کنید.حل:ویا

اسلاید ۱۲۴: ب) از معادله مقادیر x و y را پیدا کنید.حل:بنابر قضیه فوق باید داشته باشیم ب) معادله را حل کنید . حل:بنابر قضیه فوق داریمویا x = -1 و x = 1 و از اینرو ۱ = -۱ . در نتیجه معادله جواب ندارد.

اسلاید ۱۲۵: ۱۴. ۳. ۲ تعریف به ازای دو نقطه A(a,b,c) و B(x, y,z) اندازه بردار را با نشان میدهیمو آن را برابر با فاصله دو نقطه A و B تعریف می کنیم. یعنی۱۵. ۳. ۲ مثالطول بردار مساوی است با

اسلاید ۱۲۶: ۴. ۲ زاویه بین دو بردار ، ضرب داخلی۱. ۴. ۲ تعریف (حاصلضرب داخلی)منظور از حاصلضرب داخلی دو بردار عددax +by+cz است . این عدد را با نشان می دهیم ، یعنیتوجه کنید که اگر c = z = 0 آنگاه بردارهای به بردارهایی در صفحه xoy تبدیل می شوند و حاصلضرب داخلی آنها از فرمولبه دست می آید.

اسلاید ۱۲۷: ۳. ۴. ۲ مثال الف) حاصلضرب داخلی بردارهایراپیدا کنید.حل:داریمب) طول بردار مساوی است باپ) به ازای بردارهای (الف) و بردار داریمولذا

اسلاید ۱۲۸: ۵. ۴. ۲ قضیه ( نابرابری کوشی- شوارتس)به ازای دو بردار داریم * و برابری برقرار است اگر و تنها اگر عددی چون وجود داشته باشد کهرا بطه * را نابرابری کوشی شوراتس می نامیم.

اسلاید ۱۲۹: ۶. ۴. ۲ تعریف زاویه را که در رابطه * صدق می کند، زاویه بین بردارهای می نامیم.نتیجه۷. ۴. ۲ مثال الف) زاویه بین بردارهای را پیداکنید.حل:داریمبنابراین

اسلاید ۱۳۰: ۹. ۴. ۲ تعریف اگر P پای عمود از A بر خط باشد، بردار را تصویر روی واندازه را مولفه روی می نامیم.PP A در نتیجه تصویر بر عبارت است از

اسلاید ۱۳۱: ۱۰. ۴. ۲ مثالتصویر بردار راروی بردار و اندازه این تصویر راپیدا کنید.حل:با توجه به تعاریف باید و را پیدا کنیم. داریمو لذا اگر تصویر بر باشد، داریمو نیز داریم

اسلاید ۱۳۲: ۵. ۲ خط در صفحه و در فضا۱. ۵. ۲ تعریف خط جهت دار L با مبدا و نقطه P را در جهت مثبت آن درنظرمی گیریم .فرض کنید همسنگ بردار با مبداO باشد. الف) بردار یکه را سو یا جهت بردار ، سو یا جهت بردار ، و سو یا جهت خط L می نامیم. ب) زاویه های بردار Uبا جهت های مثبت محور های مختصات را زاویه های هادی U، یا خط L می نامیم.

اسلاید ۱۳۳: پ) اگر زاویه های هادی U به ترتیب با محور های z, y, x باشند، را کسینوسهای هادی U یا خط L می نامیم.xyzAUP در صفحه UyP در فضا

اسلاید ۱۳۴: ۲. ۵. ۲ مثالخط L از دو نقطه وP(4,4,6) می گذرد . می خواهیم مفاهیم موجوددر تعریف فوق را با محاسبه تحقیق کنیم . حل:بردار عبارت است ازاگر این بردار با مبدا O در نظر گرفته شود ، بردار در تعریف ۱. ۵. ۲ حاصل می شود. لذا سوی این بردار عبارت است از بردار یکه U:

اسلاید ۱۳۵: زا ویه های این بردار با بردار های یکه k , j, i زاویه های هادی هستند. داریمتوجه کنید که مجذور طول U است ولذا

اسلاید ۱۳۶: ۵. ۵. ۲ بردارهای موازیاگر بردارهای به ترتیب با مبدا های A و C موازی و بردارهای به ترتیب با این بردارها همسنگ باشند ، آنگاه زاویه بین مساوی است با ۰ یا ، برحسب اینکه هم جهت باشند یا غیر هم جهت.۶. ۵. ۲ مثالبه ازای بردار و نقطه مجموعه تمام نقاطP(x,y,z) را پیدا می کنیم که موازی با باشد.

اسلاید ۱۳۷: حل:داریمبنابر شرط توازی موازی است اگر وتنها اگربنابراین به ازای هر عدد حقیقی t باید داشته باشیمویا

اسلاید ۱۳۸: ۱۰. ۵. ۲ تعریف الف) معادله های پارامتری خط L که از نقطه می گذرند وبا بردار a i+b j+c k موازی اند عبارت اند از ب) معادله های دکارتی خطی که از نقطه می گذرد و با بردار موازی است عبارت است ازa i+b j+c k

اسلاید ۱۳۹: پ) معادله های دکارتی خطی که از نقطه های متمایز و بگذرد عبارت اند از:توجه کنید که این مطالب در مورد صفحه y xoو خط های واقع بر آن نیز درست اند. فقط در این حالت ، یعنی وقتی که صفحه xoy و خطهای آن مطرح هستند معادله ها به صورت زیر در می آیند. الف) معادله های پارامتری خط L واقع در صفحه xoyکه از نقطه می گذرد و با بردار ai+bj موازی است

اسلاید ۱۴۰: ب) معادله های دکارتی خط L واقع در صفحه xoyکه از نقطه می گذرد و با بردار ai+bj موازی استپ) معادله های دکارتی خطی که از نقطه های متمایز وبگذرد عبارت اند از:توجه :اگر در معادله های فوق مخرج کسری مساوی با صفر باشد، صورت آن را نــــیزبرابربا صفر قرار می دهیم . لذا معادله های خطی چون L که از نقطه می گذرد و با بردار a i+ b j موازی است( در اینجا c = 0) عبارت اند از:

اسلاید ۱۴۱: الف) معادله های پارامتریب) معادله های دکارتیتوجه:شرط a = b= c =0 نتیجه می دهد که بردار ai +bj+ ck در تعریف۱۰. ۵. ۲ مساوس است با بردار صفرو لذا این شرط جهتی را مشخص نمی کند . این بدان معناست که فقط با استفاده از نقطه نمی توان معادله های خطی را به دست آورد.

اسلاید ۱۴۲: ۱۱. ۵. ۲ مثال الف) معادله های دکارتی و پارامتری خطی که از نقطه می گذردوبا بردار موازی است را پیدا کنید.حل:معادله های پارامتری این خط عبارت اند ازمعادله های دکارتی این خط عبارت اند از

اسلاید ۱۴۳: ب) معادله های دکارتی و پارامتری خطی را بنویسید که از نقطه می گذرد وبا بردار موازی است. حل:در اینجا c = 0 , b = 3 , a = 2 . بنابراین معادله های دکارتی خط مورد نظر برابر است بامعادله های پارامتری این خط عبارت اند از

اسلاید ۱۴۴: ۱۳. ۵. ۲ تعریف دو خط L و را متنافر می نامیم اگر منطبق ، موازی و متقاطع نباشند.۱۴. ۵. ۲ مثالدر یک مکعب مستطیل یالهایی وجود دارند که خطها ی شامل آنها متنافرند.در شکل زیر خط هایی که شامل پاره خطهایAB و CD هستند، متنافرند.ABDC خطهای متنافر

اسلاید ۱۴۵: ۱۵. ۵. ۲ قضیه خطهای l و با اتدادهای به ترتیب موازی اند یا منطبق اند اگر وتنها اگر شرط زیر برقرار باشد.از قضیه فوق نتیجه می شود که یک شرط لازم برای تقاطع یا تنافر دو خط l و مذکور در قضیه فوق این است که یکی از شرایط الف) ب) ج)برقرار باشد.

اسلاید ۱۴۶: در برخی از مثالهای زیر هیچ یک از این شرایط برای تقاطع یا متنافر دو خط کا فی نیست۱۶. ۵. ۲ مثال الف) به ازای خط های بنابراین l و موازی یا منطبق اند نقطه (۱, ۲, ۳) از l در معادله های صدقنمی کند. پس l و موازی اند و منطبق نیستند.

اسلاید ۱۴۷: ب) امتداد خطهایدر شرطصدق می کند. بنابراین این خطها موازی یا منطبق نیستند و نشان می دهیم که متقاطع اند.برای این منظور معادله های پارامتری خطها را در نظر می گیریم.

اسلاید ۱۴۸: اگر lو متقاطع باشند ، عددهای t وs وجود دارند به طوری کهاز این معادله ها به دست می اوریم t = -3 , s = -2 . بنابراین P(-3, -6,-9) نقطه تقاطع است. پ) به ازای خطهای شرط بر قرار است. اگر این خطها متقاطع باشند باید دستگاه

اسلاید ۱۴۹: جوابی منحصر به فرد داشته باشد. از دو معادله اول نتیجه می شود که s = t =0 ولذا از معادله سوم نتیجه می شود t = 1/3 که تناقض است لذا خطهای فوق متنافرند.ت) ملاحظه می کنیم که خطهای در نقطه O(0, 0, 0) متقاطع اند. در مورد این دو خط داریم

اسلاید ۱۵۰: ۶. ۲ معادله صفحه هدف این قسمت جبری کردن مفهوم تعریف نشده صفحه است . بدینمعنی که به هر صفحه یک معادله جبری نسبت می دهیم ولذا ویژگی- های آن را از این معادله جبری طلب می کنیم. در مورد صفحه ، اصول اقلیدسی زیر را در نظر خواهیم داشت:دست کم یک صفحه و نقطه ای خارج آن وجود دارد ، دست کم در یک صفحه دو خط متقاطع وجود دارند، دو صفحه متقاطع یک خط مشترکدارند.می دانیم که اگر خطی بر یکی از خطهای صفحه ای عمود باشد ، بر تمام خطهای این صفحه عمود است. بااستفاده از این ویژگی معادله صفحه داده شده ای را به دست می آوریم.

اسلاید ۱۵۱: POA1. 6. 2 ( معادله صفحه ای که از یک نقطه می گذرد و بر یک بردار عمود است).فرض می کنیم صفحه از نقطه می گذرد و بر بردار عمود است.نقطه دلخواه P(x,y,z) را در صفحه انتخاب می کنیم .بردار بر بردار عموداست ولذا

اسلاید ۱۵۲: این معادله را بر حسب مختصات A و P و به صورت زیر می نویسیماین معادله را معادله دکارتی صفحه که از نقطه می گذرد و امتداد قائم بر آن است، می نامیم.۳. ۶. ۲ مثالمعادله برداری و دکارتی صفحه را بنویسید که از نقطه می گذردو بر بردار عمود است، بنویسید.حل: فرض می کنیم P(x,y,z) نقطه دلخواهی بر این صفحه باشد.معادله برداری صفحه عبارت است از

اسلاید ۱۵۳: ولذا معادله دکارتی آن به صورت زیر است .و یابه طور کلی هر معادله به صورت ax + by + cz + d =0 و با مجهول های z, y, x معرف یک صفحه است.

اسلاید ۱۵۴: ۷. ۶. ۲ تعریف فرض کنیم و دو صفحـــه با بردارهای قائم باشند، زاویه بین بردارهای را زاویه دو صفحه و می نامیم.اگراین زاویه باشد، بنا به تعریف داریم

اسلاید ۱۵۵: زاویه بین دو صفحه ۸. ۶. ۲ مثالمی خواهیم زاویه بین دو صفحه و را پیدا کنیم:

اسلاید ۱۵۶: حل:امتدادهای قائم بر این دو صفحه عبارت اند ازبنابراینو لذا داریم

اسلاید ۱۵۷: ۱۰. ۶. ۲ فاصله یک نقطه از یک صفحه نقطه و صفحه به معادله ax+by+cz+d=0 داده شده است. منظوراز فاصله نقطه از صفحه طول قسمتی از خط عمود بر صفحه است که بین و صفحه واقع است.ABPHطول بردار را فاصله از می نامیم

اسلاید ۱۵۸: اگر امتداد قائم بر صفحه باشد ، آنگاه با توجه به شکل در مستطیل داریماز اینرو ، در فاصله از اندازه تصویر بر است. در نتیجه داریمو لذا فاصله از مساوی است با *

اسلاید ۱۵۹: ۱۱. ۶. ۲ فرمول فاصله بر حسب مختصات در فرمول * فرض می کنیم نقطه P واقع بر دارای مختصات (x,y,z) بیاشد.داریمو از این رو*

اسلا