پاورپوینت کامل معادلات دیفرانسیل ۲۶۲ اسلاید در PowerPoint

توجه : این فایل به صورت فایل power point (پاور پوینت) ارائه میگردد

 پاورپوینت کامل معادلات دیفرانسیل ۲۶۲ اسلاید در PowerPoint دارای ۲۶۲ اسلاید می باشد و دارای تنظیمات کامل در PowerPoint می باشد و آماده ارائه یا چاپ است

شما با استفاده ازاین پاورپوینت میتوانید یک ارائه بسیارعالی و با شکوهی داشته باشید و همه حاضرین با اشتیاق به مطالب شما گوش خواهند داد.

لطفا نگران مطالب داخل پاورپوینت نباشید، مطالب داخل اسلاید ها بسیار ساده و قابل درک برای شما می باشد، ما عالی بودن این فایل رو تضمین می کنیم.

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ریختگی احتمالی در متون زیر ،دلیل ان کپی کردن این مطالب از داخل فایل می باشد و در فایل اصلی پاورپوینت کامل معادلات دیفرانسیل ۲۶۲ اسلاید در PowerPoint،به هیچ وجه بهم ریختگی وجود ندارد

---

بخشی از مطالب داخلی اسلاید ها

پاورپوینت کامل معادلات دیفرانسیل ۲۶۲ اسلاید در PowerPoint

اسلاید ۴: ۴فصل سوم: حل معادله دیفرانسیل به روش سری ها۱: سری توانی۲: نقاط معمولی ومنفرد وجواب های سری پاورپوینت کامل معادلات دیفرانسیل ۲۶۲ اسلاید در PowerPoint3: نقاط منفرد منظم پاورپوینت کامل معادلات دیفرانسیل ۲۶۲ اسلاید در PowerPoint خطی مرتبه دوم:۴حالتی که معادله شاخص دارای ریشه های برابر است

اسلاید ۵: ۵ فصل چهارم: ۱: دستگاه پاورپوینت کامل معادلات دیفرانسیل ۲۶۲ اسلاید در PowerPoint

اسلاید ۶: ۶فصل پنجم: تبدیلات لاپلاس۱: تبدیل لاپلاس ۲: خواص تبدیل لاپلاس۳: معکوس تبدیل لاپلاس۴: حل معادله دیفرانسیل به روش لاپلاس۵: تبدیل لاپلاس برخی توابع

اسلاید ۷: ۷ماهیت معادله دیفرانسیل وطبقه بندی آن مقدمه: با مفهوم معادله یعنی رابطه ای که درآن تساوی باشد، آشنا هستیم. ساده ترین معادله یک مجهولی می باشد،که بانماد نشانمی دهیم. مثلا معادله یک مجهولی درجه اول و معادله یک مجهولی درجه دوم و معادله یک مجهولی درجه سوم والی آخر

اسلاید ۸: ۸معادله دو مجهولی که بانماد نشان می دهیممثلا معادله دو مجهولی درجه اول معادله دو مجهولی درجه دوم والی اخر درمورد معادله دونوع سوال قابل طرح می باشد:الف) آیا جواب معادله می باشد؟ ب) جواب معادله راپیدا کنید؟آیا جفت جواب معادله می باشد؟

اسلاید ۹: ۹جواب دادن به سوال الف) ساده می باشد زیرا با جایگذاری می توان مشخص کرد. ولی جواب دادن به سوال ب) مشکل می باشد. ابتدا باید معادلات را دسته بندی کرده وبرای هر نوع روش خاصی راارائه داده بعبارت دیگر برای حل معادله باید دو مرحله را مشخص کنیم:۱) مرحله شناخت۲) مرحله حل(روش حل)

اسلاید ۱۰: ۱۰حال اگر درمعادله متغیر رابعنوان متغیررا بعنوان متغیر وابسته درنظر بگیریم آن گاه تابعی از می باشد و می توان درمورد مشتق تابع مستقل وصحبت کرد یعنی :

اسلاید ۱۱: ۱۱معادله ای که شامل ترکیباتی از (متغیر مستقل) و (متغیر وابسته) و مشتقات آن باشد را معادله دیفرانسیل نامیم وبا نماد نشان می دهیمتعریف: درمورد معادله دیفرانسیل نیز می توان دو سوال طرح کرد:الف) آیا تابع جواب معادله دیفرانسیل می باشد؟ب) جواب های معادله دیفرانسیل را پیدا کنید؟

اسلاید ۱۲: ۱۲جواب دادن به سوال الف) ساده است (با جایگذاری) مثلا آیا تابع جواب معادله میباشد؟جواب دادن به سوال ب) مشکل می باشد وبستگی به نوع معادله وطبقه بندی آن دارد. باتعریف مرتبه ودرجه معادله دیفرانسیل به سراغ سوال ب) می رویم.تعریف: بیشترین تکرار مشتق در هر معادله را مرتبه آن وتوان بیشترین تکرار مشتق را درجه معادله دیفرانسیل نامیم.

اسلاید ۱۳: ۱۳مثلا :معادله مرتبه اول ، درجه سوم می باشد.۲) معادله مرتبه سوم ، درجه اول می باشد.۳) معادلهمرتبه سوم ، درجه اول می باشد.

اسلاید ۱۴: ۱۴معادله دیفرانسیل جدا شدنی مشابه معادله معمولی باتوجه به تعریف مرتبه ودرجه معادله دیفرانسیل می توان آنها راطبقه بندی کرد. بنابراین ساده ترین معادله دیفرانسیل مرتبه اول بصورت می باشد که اگر توان برابربایک باشد آنگاه معادله مرتبه اول درجه اول می باشدبصورت کلیکه مرتبه اول درجه اول می باشد

اسلاید ۱۵: ۱۵تعریف: معادله دیفرانسیل مرتبه اول درجه اول به صورت را معادله جدا شدنی نامیم (مرحله شناخت). هر معادله مرتبه اول درجه اول جداشدنی را اختصارا معادله جداشدنی (جدایی پذیر)نامیم. هر معادله جدا شدنی را می توان بصورت کلی تبدیل کرد.

اسلاید ۱۶: ۱۶حل معادله دیفرانسیل جداشدنی: با انتگرالگیری از معادله جداشدنی می توان جواب آنرا محاسبه کرد.تذکر: هدف از حل معادله دیفرانسیل محاسبه جواب عمومی معادله دیفرانسیل می باشد. جوابی را جواب عمومی نامیم هرگاه تعداد پارامترها به تعداد مرتبه معادله دیفرانسیل باشد که بعدا آنرا دقیقا تعریف خواهیم کرد.

اسلاید ۱۷: ۱۷مثال : معادله را حل می کنیم. حل :داریمآن گاه درنتیجه ویاجواب (عمومی)معادله است.

اسلاید ۱۸: ۱۸معادله دیفرانسیل مرتبه اول درجه اول ممکن است به ظاهر جداشدنی نباشد ولی با تقسیم برعباراتی می توان آن را تبدیل به جدا شدنی نمود. مثال: معادله به ظاهر جدا شدنی نیست، ولی با تقسیم برحاصلضرب عبارات اضافی داریم: که جدا شدنی است پس با انتگرالگیری داریم : جواب معادله است.

اسلاید ۱۹: ۱۹ معادله دیفرانسیل همگن ملاحظه شد معادله مرتبه اول درجه اول بصورت ویا به صورتمی باشد

اسلاید ۲۰: ۲۰مثلا معادلات معادلات مرتبه اول درجه اول می باشند که هیچکدام جدا شدنی نیستند ولی معادله اولی دارای خاصیتی می باشد که معادله دومی نیست. درمعادله دیفرانسیل اول تمام جملات توابع از توان یکسان دو می باشد ولی معادله دومی چنین نیست. این مفهوم رابانماد ریاضی تعریف می کنیم.

اسلاید ۲۱: ۲۱تعریف : تابع دو متغیره را تابع همگن از درجه نامیم هرگاه درشرط زیر صدق کند: تابع تابع همگن ازدرجه دو می باشد تابع تابع همگن از درجه یک می باشد.

اسلاید ۲۲: ۲۲تعریف: معادله دیفرانسیل را معادله همگن نامیم هر گاه توابع دو متغیره توابع همگن از درجه یکسان باشند. بعبارت دیگر معادله دیفرانسیل را معادله همگن نامیم هر گاه توابع دو متغیره توابع همگن از درجه یکسان باشند.

اسلاید ۲۳: ۲۳حل معادله دیفرانسیل همگن: فرض کنیم معادله همگن باشد. بافرض تغییر متغیر داریم پس آن گاه با جایگذاری درمعادله نتیجه می شود که که معادله اخیر جدا شدنی است می توان آنرا به روش جدا شدنی حل کرد وبا جایگذاری جواب معادله دیفرانسیل اولیه بدست می آید.

اسلاید ۲۴: ۲۴مثال: معادله دیفرانسیل همگن را حل می کنیم باجایگذاری وداریم: با تقسیم برحاصلضرب عبارات اضافی داریم:

اسلاید ۲۵: ۲۵تذکر: برای ساده کردن به جای معمولا را بعنوان پارامتر ثابت اختیار می کنیم.جواب معادله دیفرانسیل می باشد.

اسلاید ۲۶: ۲۶ دسته منحنی ها ودسته منحنی های متعامدملاحظه شد که جواب عمومی هر معادله دیفرانسیل مرتبه اول معمولا شامل یک ثابت اختیاری موسوم به پارامتر است. وقتی مقادیر مختلفی به این پارامتر نسبت داده می شود، یک دسته منحنی به دست می آید هر یک از این منحنی ها یک جواب خصوصی معادله دیفرانسیل مفروض است وهمه آنها با هم جواب عمومی آن را تشکیل می دهند. بنابراین معادله جواب عمومی آن را تشکیل می دهند. بنابراین معادله یک دسته منحنی می باشد.

اسلاید ۲۷: ۲۷حال می خواهیم دسته منحنی های متعامد بریک دسته منحنی مفروض رابااستفاده از معادله دیفرانسیل بدست آوریم که کاربردی از معادله دیفرانسیل می باشد. بعنوان مثال تعدادی دسته منحنی رادر زیر رسم می کنیم :

اسلاید ۲۸: ۲۸

اسلاید ۲۹: ۲۹حال با توجه به مطالب بالا وبا استفاده از روند زیر می توان دسته منحنی های متعامد بریک دسته منحنی ها را پیدا کرد : معادله دسته منحنی ها معادله دیفرانسیل دسته منحنی ها معادله دیفرانسیل دسته منحنی های متعامد دسته منحنی های متعامد

اسلاید ۳۰: ۳۰مثال : دسته منحنی های متعامد بردسته منحنی های دوایر به مرکز مبدا وشعاع دلخواه رابدست می آوریم: مشتق دسته منحنی های متعامد

اسلاید ۳۱: ۳۱

اسلاید ۳۲: ۳۲اغلب مناسب است که دسته منحنی های داده شده را برحسب مختصات قطبی بیان کنیم دراین حالت از این موضوع استفاده می کنیم که اگر زاویه بین شعاع حامل وخط مماس باشد آن گاه (ریاضی عمومی). با استفاده بحث بالا برای یافتن دسته منحنی های متعامد درمعادله دیفرانسیل دسته منحنی داده شده به جای عبارت منفی عکس آن یعنی را جایگذاری می کنیم.

اسلاید ۳۳: ۳۳مثال : دسته منحنی های متعامد بردسته منحنی های را درمختصات قطبی بدست می آوریم. معادله دسته منحنی ها در مختصات قطبی عبارت است از : بنابراین : که با حذف داریم: ویا

اسلاید ۳۴: ۳۴که با جایگذاری به داریم: معادله دسته منحنی های متعامد می باشد.

اسلاید ۳۵: ۳۵

اسلاید ۳۶: ۳۶ معادله دیفرانسیل کامل درریاضیات عمومی با دیفرانسیل توابع دو متغیره آشنا شدیم وملاحظه کردیم که دیفرانسیل کامل تابع را که با نماد نشان می دهیم عبارت است ا ز وهمچنین معادله دیفرانسیل مرتبه اول درجه اول بصورت کلی می باشد.

اسلاید ۳۷: ۳۷تعریف :معادله دیفرانسیل را معادله کامل نامیم هر گاه تابع دو متغیره موجود باشد بطوری که و . با توجه به تعریف بالا تعیین اینکه معادله دیفرانسیل داده شده کامل می باشد، مشکل است زیرا باید تمام توابع دو متغیره راجستجو کنیم وملاحظه کنیم که بترتیب کدام تابع دارای مشتقات جزیی نسبت به برابر با توابع و می باشد

اسلاید ۳۸: ۳۸اگر این کار امکان پذیر باشد، مشکل است به همین دلیل شرایطی روی بدست می آوریم که وجود چنین تابعی را تضمین کند. با مشتق گیری جزیی از طرفین رابطه های به ترتیب نسبت به داریم: با توجه به اینکه برای توابع پیوسته داریم: بنابراین:

اسلاید ۳۹: ۳۹بنابراین شرط کامل بودن معادله دیفرانسیل عبارت است از : (مرحله شناخت).

اسلاید ۴۰: ۴۰مثال :پاورپوینت کامل معادلات دیفرانسیل ۲۶۲ اسلاید در PowerPoint زیر کامل می باشد.الف) زیرا ب) زیرا

اسلاید ۴۱: ۴۱حل معادله دیفرانسیل کامل:فرض کنیم که معادله دیفرانسیل کامل باشد بنابر تعریف معادله دیفرانسیل کامل، تابعی مانند موجود است که: پس بنابر تساوی های بالا نتیجه می شود ویا جواب معادله دیفرانسیل می باشد.

اسلاید ۴۲: ۴۲تنها معلومات، مشتقات جزیی می باشد که با استفاده از روند زیر می توان آنرا محاسبه کرد. آن گاه با استفاده از رابطه دوم مقدار بدست می آید که با انتگرال گیری از آن مجهول که همان می باشد محاسبه می شود در نتیجه بدست می آید که جواب معادله دیفرانسیل است.

اسلاید ۴۳: ۴۳مثال: ملاحظه شد که معادله کامل می باشد پس: جواب معادله دیفرانسیل است.

اسلاید ۴۴: ۴۴عامل انتگرال ساز معادله دیفرانسیل کامل نمی باشد زیرا ولی اگر طرفین معادله بالا را در ضرب کنیم داریم : واین معادله دیفرانسیل جدید کامل می باشد زیراو می توان به روش کامل معادله دیفرانسیل جدید را حل کرد.

اسلاید ۴۵: ۴۵بنابراین ممکن است معادله دیفرانسیل کامل نباشد ولی باضرب کردن درتابع که آنرا عامل انتگرال سازگوییم تبدیل به کامل کرد. اکنون شرط وجود عامل انتگرال ساز وچگونگی محاسبه آن را بیان می کنیم. فرض کنیم که معادله کامل نباشد یعنی ودارای عامل انتگرال ساز باشد، آنگاه طبق تعریف عامل انتگرال ساز معادله جدید کامل می باشد

اسلاید ۴۶: ۴۶که محاسبه از این معادله ممکن نیست به همین دلیل تحت شرایط خاصی عامل انتگرال ساز را بررسی می کنیم.الف) فرض می کنیم که عامل انتگرال ساز فقط تابعی از باشد یعنی ، آن گاه

اسلاید ۴۷: ۴۷که با جایگذاری داریم:عامل انتگرال ساز می باشد.ب) فرض می کنیم که عامل انتگرال ساز فقط تابعی از باشد یعنی ، آ ن گاه

اسلاید ۴۸: ۴۸که با جایگذاری داریم:عامل انتگرال ساز می باشد .

اسلاید ۴۹: ۴۹مثال :عامل انتگرال سازی برای معادله را پیدا می کنیم.حل:ابتدا مقدار مشترک را محاسبه می کنیم که با تقسیم بر داریم: پس عامل انتگرال ساز می باشد.

اسلاید ۵۰: ۵۰تذکر: گاهی معادله دیفرانسیل غیر کامل دارای عامل انتگرال سازی بصورت است، که درآن ثابت های مناسبی هستند. برای یافتن عامل انتگرال سازی به صورت طرفین معادله را درآن ضرب می کنیم واز شرط کاملاستفاده می کنیم.

اسلاید ۵۱: ۵۱تذکر: روش دسته بندی یا کوتاه، گاهی با جستجو کردن می توان معادله دیفرانسیل را به یکی از حالات زیر دسته بندی کرد:الف) (جداشدنی)ب) ج) د) که به سادگی می توان با انتگرال گیری از طرفین معادلات جواب آنها را بدست آورد.

اسلاید ۵۲: ۵۲یادآوری:الف)ب)ج)د)

اسلاید ۵۳: ۵۳ه)و)ز)

اسلاید ۵۴: ۵۴مثال :معادله دیفرانسیل را باروش دسته بندی حل می کنیم.حل: معادله دیفرانسیل را به صورت می نویسیم که واز فرمول )ب( داریم: که با انتگرال گیری نتیجه می شود جواب معادله دیفرانسیل می باشد.

اسلاید ۵۵: ۵۵ معادله دیفرانسیل مرتبه اول خطی ملاحظه شد که معادله مرتبه اول بصورت می باشد که اگر توان های برابر با یک باشد آنرا معادله مرتبه اول خطی نامیم (معادله خط ملاحظه شد که توان برابر با یک می باشد که اگر توان یکی از یا به غیر یک باشد آن گاه معادله منحنی می باشد) بنابراین معادله مرتبه اول خطی به صورت می باشد.

اسلاید ۵۶: ۵۶با تقسیم طرفین بر معادله مرتبه اول خطی بصورت کلی است (مرحله شناخت) مثلا معادلات زیر مرتبه اول خطی هستند:الف) ب) ج)

اسلاید ۵۷: ۵۷برای حل معادله دیفرانسیل ابتدا ملاحظه می کنیم که آیا کامل است یا نه؟ عامل انتگرال ساز معادله مرتبه اول خطی است و جواب عمومی معادله مرتبه اول خطی می باشد

اسلاید ۵۸: ۵۸مثال : معادله مرتبه اول خطی را حل می کنیم. چون و پس:جواب معادله دیفرانسیل است.

اسلاید ۵۹: ۵۹حالت خاصی از معادلات مرتبه اول خطی به صورت می باشد که توان های برابر با یک می باشد. با توجه به روش حل معادله مرتبه اول خطی با تعویض نقش با وبالعکس نتیجه می شود که

اسلاید ۶۰: ۶۰ حالت خاصی از معادلات مرتبه اول که تبدیل به خطی می شود به صورت می باشد که به ازای معادله مرتبه اول خطی است وبه ازای معادله جدا شدنی است وبه ازای ، معادله برنولی نامیده می شود. معادله دیفرانسیل برنولی را می توان با تغییر متغیر حل کرد و دارای جواب است.

اسلاید ۶۱: ۶۱مثال: معادله را حل می کنیم.حل:داریم و و و پس: جواب عمومی معادله است.

اسلاید ۶۲: ۶۲بعنوان معادله دیفرانسیل مرتبه اول می توان معادله دیفرانسیلرا مطرح کرد به نام کلرو(Clairaut) معروف است. بسادگی ملاحظه می شود که جوابی از معادله بالامی باشد زیرا با مشتق گیری داریم با جایگذاری درجواب نتیجه می شود که معادله کلرو است. بنابراین جواب معادله کلرو با جایگذاری بدست می آید.

اسلاید ۶۳: ۶۳مثال : معادله را حل کنید.حل: با جایگذاری معادله دارای جواب است.

اسلاید ۶۴: ۶۴ بعنوان آخرین معادله دیفرانسیل مرتبه اول ریکاتی (Riccati)رابیان می کنیم که به صورتبا شرط می باشد برای پیدا کردن جواب عمومی معادله بالا باید جوابی خاص از آن معلوم باشد. اگر یک جواب خاص از معادله بالا باشد. جایگذاری و معادله را به معادله دیفرانسیل که مرتبه اول خطی است، تبدیل می کند.

اسلاید ۶۵: ۶۵مثال: معادله (با ) را حل می کنیم:حل: چون و و پس: بنابراین و پس:

اسلاید ۶۶: ۶۶

اسلاید ۶۷: ۶۷معادله دیفرانسیل مرتبه دوم دراین فصل معادله مرتبه دوم را درحالات خاص بررسی می کنیم.معادله مرتبه دوم حالت خاص فاقد y یا xممکن است درمعادله ضریب یا برابر صفر باشد.

اسلاید ۶۸: ۶۸- معادله به صورت را مرتبه دوم فاقد نامیم. مثلا و معادلات مرتبه دوم فاقد می باشند. معادله به صورت را مرتبه دوم فاقد نامیم. مثلا و معادلات مرتبه دوم فاقد می باشند.

اسلاید ۶۹: ۶۹الف) حل معادله با تغییر متغیر می توان معادله را به معادله مرتبه اول تبدیل کرد که اگر معادله بدست آمده یکی از معادلات مرتبه اول باشد که قبلا بحث شده است می توان آنرا حل کرد زیرا بافرض داریم که با جایگذاری درمعادله نتیجه می شودکه معادله مرتبه اول می باشد.

اسلاید ۷۰: ۷۰ب) حل معادله با تغییر متغیر می توان معادله را به معادله مرتبه اول تبدیل کرد که اگر معادله بدست آمده یکی از معادلات مرتبه اول باشد که قبلا بحث شده است می توان آنرا حل کرد زیرا بافرض داریم که با جایگذاری درمعادله نتیجه می شودکه معادله مرتبه اول با فرض متغیر مستقل و متغیر وابسته می باشد.

اسلاید ۷۱: ۷۱مثال : معادله فاقد ، را باتغییر متغیر حل می کنیم.که با جایگذاری داریم: جواب عمومی معادله دیفرانسیل است.

اسلاید ۷۲: ۷۲مثال : معادله مرتبه دوم فاقد ، را باتغییر متغیر حل می کنیم که با جایگذاری داریم: جواب عمومی معادله دیفرانسیل است.

اسلاید ۷۳: ۷۳تذکر: درحل این نوع پاورپوینت کامل معادلات دیفرانسیل ۲۶۲ اسلاید در PowerPoint مرتبه دوم، درواقع هر معادله مرتبه دوم را به دو معادله مرتبه اول تبدیل کرده وآنها را حل می کنیم.

اسلاید ۷۴: ۷۴معادله مرتبه دوم با ضرایب ثابت همگن دراین بخش حالت خاصی از مرتبه دوم رابررسی می کنیم. ملاحظه شد که معادله مرتبه دوم خطی بصورت کلی می باشد که اگر آنرا مرتبه دوم خطی همگن نامیم

اسلاید ۷۵: ۷۵اگر توابع ثابت باشند بعبارت دیگر مقادیر آنها اعداد ثابت باشند آن گاه معادله بصورت می باشد که می توان آنرا بصورت ساده ملاحظه کرد که آنرا مرتبه دوم خطی همگن با ضرایب ثابت ، یا اختصارا با ضرایب ثابت نامیم . (مرحله شناخت)

اسلاید ۷۶: ۷۶حل معادله :با تعریف نماد داریم و که با جایگذاری درمعادلهنتیجه می شود که :

اسلاید ۷۷: ۷۷معادله را معادله کمکی (یا مفسر)نامیم معادله کمکی، یک معادله درجه دو می باشد که ممکن است سه حالت زیر رخ دهد:الف) دارای دو ریشه متمایز باشد یعنی ب) دارای ریشه مضاعف (تکراری)باشد یعنی ج) دارای ریشه مختلط باشد یعنی

اسلاید ۷۸: ۷۸بنابراین معادله دیفرانسیل را با توجه به معادله کمکی به دو معادله مرتبه اول تبدیل کرده وآنرا حل می کنیم. بنابراین :الف) که بافرض داریم وبا حل