پاورپوینت کامل آمار و احتمال مهندسی ۳۰۴ اسلاید در PowerPoint

توجه : این فایل به صورت فایل power point (پاور پوینت) ارائه میگردد

 پاورپوینت کامل آمار و احتمال مهندسی ۳۰۴ اسلاید در PowerPoint دارای ۳۰۴ اسلاید می باشد و دارای تنظیمات کامل در PowerPoint می باشد و آماده ارائه یا چاپ است

شما با استفاده ازاین پاورپوینت میتوانید یک ارائه بسیارعالی و با شکوهی داشته باشید و همه حاضرین با اشتیاق به مطالب شما گوش خواهند داد.

لطفا نگران مطالب داخل پاورپوینت نباشید، مطالب داخل اسلاید ها بسیار ساده و قابل درک برای شما می باشد، ما عالی بودن این فایل رو تضمین می کنیم.

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ریختگی احتمالی در متون زیر ،دلیل ان کپی کردن این مطالب از داخل فایل می باشد و در فایل اصلی پاورپوینت کامل آمار و احتمال مهندسی ۳۰۴ اسلاید در PowerPoint،به هیچ وجه بهم ریختگی وجود ندارد

---

بخشی از مطالب داخلی اسلاید ها

پاورپوینت کامل آمار و احتمال مهندسی ۳۰۴ اسلاید در PowerPoint

اسلاید ۴: ۴مقدمه: کلمه آمار ابتدا به معنی مجموعه اطلاعاتی از جمعیت واقتصاد بود، اینک، آمار از آن شروع ابتدایی ، به یک روش علمی تجزیه و تحلیل که در تمام رشته های علوم اجتماعی ومهندسی و… به کار برده میشود،ترقی کرده است.آمار شاخهای از علوم است که به نقش:سازماندهی وخلاصه کردن استنباط ونتیجه گیری در باره مجموعه ای از داده هاست ،وقتی که تنها بخشی از آن ها مشاهده شده اند.

اسلاید ۵: ۵ درحقیقت آمار یک روش است که هدفش توصیف کردن است وعلاوه بر این ، یک روش کمی است که از عدد به عنوان وسیله ای برای بیان و توصیف استفاده میشود.با نگرش به این توصیف ، از نقطه نظر آموزشی ، سه مرحله زیر را میتوان در آمار در نظر گرفت:آمار توصیفی احتمالاتآمار ریاضی

اسلاید ۶: ۶فصل اول آمار توصیفی وارائه داده ها

اسلاید ۷: ۷هدف آموزشی فصلعلم آمار با روشهای مورد استفاده از جمع آوری، ارائه، تجزیه و تحلیل و تفسیرداده ها سروکار دارد. هر نوع عمل کردن روی داده ها که پیش بینی ها یا استنباط هایی درباره گروه بزرگتری از داده ها منجر شود. آمار استنباطی و مجموعه روشها و قوانینی که نتایج را ساده تر کند آمار توصیفی شمرده می شود.

اسلاید ۸: ۸جامعه و نمونه ها اگر یک مجموعه داده همه مشاهدات ممکن یک پدیده خاص را شامل شود ، آن را یک جامعه می نامیم . اگر یک مجموعه داده فقط یک بخش از مشاهدات را شامل شود ، آن را نمونه می نامیم . به عنوان مثال برآمدهای ۱۲ پرتاب یک سکه (شیر و خط) را در یک نمونه از همه پرتاب های ممکن سکه در جامعه بررسی می‌کنیم .

اسلاید ۹: ۹میانگین حسابیفرض کنید جامعه مورد بررسی دارای N عضو باشد. میانگین جامعه از رابطه زیر بدست می آید:مثال : در یک روز خاص ،۹ دانش‌آموز به ترتیب : ۱،۲،۳،۰،۱،۵،۲،۱ و ۳ نامه دریافت کرده‌اند ، میانگین را پیدا کنید .حل : تعداد کل نامه‌هایی که ۹ دانش‌آموز دریافت کرده‌اند برابر با ۱۸ است . بنابراین و میانگین تعداد نامه برای هر دانش‌آموز ۲ است .

اسلاید ۱۰: ۱۰مثال: فرص کنید کانون مهندسین نرم افزار کامپیوتر دارای ۷ عضو است که حقوق سالانه آن ها عبارتند از:۱۵۰۰ ۱۷۰۰ ۱۹۰۰ ۲۰۰۰ ۱۳۰۰ ۱۴۰۰ ۱۷۵۰میانگین جامعه را حساب کنید. حل:

اسلاید ۱۱: ۱۱میانگین هندسیاگر یک نمونه به حجم n از جامعه مورد بررسی باشد میانگین هندسی از رابطه زیر به دست می آید و با علامت G نمایش داده می شود:

اسلاید ۱۲: ۱۲میانگین هارمونیکاگر یک نمونه به حجم n از جامعه مورد بررسی باشد، میانگین هارمونیک از رابطه زیر بدست می آید و با علامت H نشان داده می شود. یا

اسلاید ۱۳: ۱۳در یک کارگاه تراشکاری یک قطعه خاص به وسیله سه رایانه در زمان های ساعت تراش داده می شود. میانگین هارمونیک را محاسبه کنید.

اسلاید ۱۴: ۱۴میانگین پیراستهمیانگین پیراسته حالت خاصی از میانگین حسابی است به طوری که تعداد ار مشاهدات به علت نا هماهنگ بودن، از داده ها حذف می شود و میانگین حسابی برای داده ها باقی مانده محاسبه می شود. اگرk تا از مشاهدات حذف شده باشند میانگین پیراسته از رابطه زیر بدست می آید(k<n).

اسلاید ۱۵: ۱۵میانه و دیگر چندک به ‌منظورجلوگیری از خطای ایجاد شده توسط مقادیر خیلی بزرگ یا کوچک ، گاهی اوقات بهتر است ”وسط“ یا ”مرکز” یک مجموعه از داده را بوسیله اندازه‌های آماری دیگر به جز میانگین توصیف کنیم . تعریف : یکی از این مقیاس ها یعنی میانه n مقدار ما را ملزم می‌سازد که داده‌ها را بر حسب اندازه نمونه مرتب کنیم . وقتی که n فرداست ، میانه برابر با وسط داده هاست .وقتی که n زوج است ، میانه برابر با میانگین دو عددی است که نزدیک وسط داده‌ها هستند.

اسلاید ۱۶: ۱۶در آمار چارک و صدک ها مهم هستند اما صدک ها به طور کلی در مورد مجموعه‌های بزرگ به کار می‌روند . بنابراین اکنون سه چارک به صورت زیر معرفی می کنیم . :چارک اول میانه تمام مقادیر سمت چپ موقعیت میانه تمام داده های مجموعه است . :چارک دوم ، میانه است . :چارک سوم ، میانه تمام مقادیر سمت راست میانه تمام داده های مجموعه است .

اسلاید ۱۷: ۱۷ مثال : اعداد زیر تعداد دقایقی است که فردی در طول ۱۴ روز باید برای رفتن به محل کارش منتظر اتوبوس شود ۱۰،۲،۱۷،۱،۱۶،۸،۳،۱۰،۲،۹،۵،۹،۱۳،۱۰و ۱۰ ، میانه ، و بیابید . حل : برای موقعیت میانه برابر است با ، بنابراین موقعیت ، و چهارمین مقدار از آخر می‌باشد . هنگامی که داده‌ها را براساس اندازه شان مرتب کنیم، داریم : ۱۷،۱۳،۱۰،۱۰،۱۰،۹،۹،۸،۶،۵،۳،۲،۲و ۱ . ملاحظه می‌کنید که میانه برابر با و و می‌باشد .

اسلاید ۱۸: ۱۸دامنه « دامنه عبارتست از تفاوت کوچکترین مقدار و بزرگترین مقدار. »

اسلاید ۱۹: ۱۹ توزیع های فراوانی یک جدول مانند جدول زیررا جدول توزیع فراوانی و یا به طور ساده تری ، توزیع عددی می نامند . این جدول چگونگی توزیع سن ۱۰ میلیون فرد دستگیر شده را نشان می‌دهد . این مقادیر داده‌ها بر طبق یک مقدار عدد (سن) طبقه‌بندی شده‌اند ، در بعضی از مثال ها اطلاعات را براساس مقیاس های غیر عددی مانند : رنگ،ناحیه جغرافیایی، تشخیص پزشکی دسته بندی می‌کنیم

اسلاید ۲۰: ۲۰ نمایش نموداری برای خلاصه کردن مجموعه‌های بزرگی از داده‌ها در یک شکل ساده ، آنها را اغلب به صورت نموداری نمایش می‌دهیم . معمولترین شکل نمایش به صورت نموداری توزیع فراوانی ، بافت نگار است. قاعده مستطیل های نمایش داده شده روی فاصله‌های مساوی و ارتفاعشان مطابق با فراوانی هاست .

اسلاید ۲۱: ۲۱ نمودار میله ای برای توزیع تعداد دفعاتی که ۸۰ دانشجو در فعالیتهای فوق برنامه کاندید شده اند.

اسلاید ۲۲: ۲۲چند ضلعی فراوانی توزیع تعداد ساعاتی که ۸۰ دانشجو در فعالیتهای فوق برنامه کاندید شده اند

اسلاید ۲۳: ۲۳نمودار دایره ای نمودار وضعیت خانوارهای ارتشی سفید پوست کشوری در سال ۱۹۸۲

اسلاید ۲۴: ۲۴اندازه نمونه ، معمولاً بوسیله حرف تعریف شده است . مقدار را در یک نمونه به صورت نشان می دهیم و می نویسیم : میانگین نمونه اگر میانگین نمونه باشد بنابراین:

اسلاید ۲۵: ۲۵میانگین جامعه : میانگین موزون : میانگین کل داده های ترکیب شده :

اسلاید ۲۶: ۲۶ مثال : در ماه اخیر ، سازمان ماهیگیری اعلام کرد که ۵۳،۳۱،۶۷،۵۳ و ۳۶ تخلف در صید ماهی در ۵ ناحیه متفاوت اتفاق افتاده است . میانه تعداد تخلفات برای ماه‌های اخیر را پیدا کنید:حل : ابتدا اعداد را به ترتیب صعودی مرتب می‌کنیم . ۶۷،۵۳،۵۳،۳۶،۳۱بنابراین میانه برابر با ۵۳ است

اسلاید ۲۷: ۲۷مُد مُد یکی دیگر از مقیاس های مکان است که در بعضی مواقع برای توصیف وسط یک مجموعه از داده‌ها مقیاس های مکان دیگری در کنار میانگین ، میانه و مد وجود دارند و سوالی که کدام متوسط در یک موقعیت به‌خصوص باید انتخاب شود همواره به راحتی پاسخ داده نمی‌شود . واقعیت این است که جادوی آمار می‌تواند هر چیزی را ثابت کند .

اسلاید ۲۸: ۲۸ مثال : نمونه‌ای از گزارش گرفته شده در سال جاری یک شرکت وسایل نقلیه موتوری حاکی ازآن است که شانزده راننده در گروه‌های سنی مشخص:۲،۳،۳،۱،۰،۲،۱،۰،۳،۴،۰،۳،۲،۳و۰وجود دارد ، مد را پیداکنید. حل :۰ پنج بار، ۱دو بار، ۲سه بار، ۳پنج بار، ۴یک بار و ۰و۳ هرکدام با بیشترین فراوانی پنج بار تکرار شده‌اند ، بنابراین ۲ مد وجود دارد . می‌توانیم نتیجه بگیریم که هم تعداد رانندگان خوب و هم رانندگان ضعیف زیاد است . و تعداد رانندگانی بین این دو دسته وجود دارند کم است .

اسلاید ۲۹: ۲۹مقیاس پراکندگی : انحراف معیار برای معرفی انحراف معیار یکی از پرکارترین مقیاس پراکندگی بیان می کنیم که اگر مقادیر در اطراف میانگین متراکم باشند انحراف معیار کوچک و اگر از میانگینشان دور باشند مقدارش بزرگ است . بنابراین به‌نظر قابل‌قبول می‌رسد که برای اندازه‌گیری پراکندگی داده‌ها در یک مجموعه ، تفاوتشان را از میانگین محاسبه کنیم . اگر مجموعه‌ای از داده‌ها اعداد اعضای یک جامعه با میانگین باشد ، تفاوت بین انحراف از میانگین نامیده می‌شود .

اسلاید ۳۰: ۳۰انحراف معیار جامعه : انحراف معیار نمونه :فرمول برای استانداردکردن واحدها :ضریب تغییرات : ،

اسلاید ۳۱: ۳۱هر جایی که داده‌ها یک نمونه یا یک جامعه تشکیل می‌دهند ، از فرمول صفحه قبل می توان استفاده کرد . در این قسمت بیان می کند که متغیرها چند ، انحراف معیار استاندارد بالاتر یا پایین تر از میانگین مجموعه داده‌ها قرار می‌گیرد . واحد استاندارد در قسمت بعدی به کار برده می‌شود .

اسلاید ۳۲: ۳۲ مثال : در طول چند ماه گذشته یک دونده با میانگین ۱۲ مایل درهفته با انحراف معیار استاندارد ۲ مایل در حالی که یک دونده دیگر با میانگین ۲۵ مایل در هفته با انحراف معیار استاندارد ۳ مایل دویده است . کدامیک از این دو دونده سازگاری ارتباطی بیشتری با برنامه هفتگی دویدن دارد ؟ حل : دو ضریب تعیین به ترتیب : پس دونده دوم سازگاری ارتباط بیشتری با برنامه هفتگی دویدن دارد .

اسلاید ۳۳: ۳۳فصل دوم احتمال

اسلاید ۳۴: ۳۴هدف آموزشی فصلدر این فصل مبانی علم احتمال شرح داده شده است. مفاهیمی چون فضای نمونه، پیشامد و نیز اصول شمارش و جایگشت ها و ترکیب ها بیان شده است. و نیز مفهوم احتمال، تابع احتمال، اصل موضوع احتمال شرطی استقلال دو پیشامد قانون و احتمال کل توضیح داده می شود.

اسلاید ۳۵: ۳۵مفاهیم اولیه:فضای نمونه : اگر نتیجه آزمایشی معین نباشد ، اما همه ی برآمدهای ممکن آن از قبل قابل پیش بینی باشد، مجموعه ی همه آنها را فضای نمونه ای نامیم و آن را معمولا با S وهمچنین برآمدها را با نشان میدهیم:بنابراین فضای نمونه ای S:و برآمدها e:پیشامد : زیر مجموعه ای از فضای نمونه ای را یک پیشامد نامیم

اسلاید ۳۶: ۳۶توجه شودکه: برآمدها (e) می توانند به صورت یک نقطه تنها یا دو تایی مرتب ویا … n تایی مرتب باشند :به مثالهای زیر توجه شود.

اسلاید ۳۷: ۳۷مثال :۱- پرتاب سکه :۲- پرتاب تاس : … ۳- پرتاب دو سکه :۴- پرتاب سه سکه :

اسلاید ۳۸: ۳۸۵- فرض کنید آزمایشی دردومرحله انجام شود.ابتدا سکه ای پرتاب می شود.اگر خط بیاید، تاس پرتاب می شود واگر شیر بیاید ، سکه دوباره پرتاب می شود.فضای نمونه ای را تعریف کرده وپیشامدهای زیر را تعریف کنید .الف. آمدن شیردراولین پرتاب ب. آمدن عددی فرد وقتی تاس پرتاب شود .حل :الف. ب.

اسلاید ۳۹: ۳۹۶- فرض کنید سکه ای را آنقدر پرتاب می کنیم تا اولین شیر ظاهر شود .فضای نمونه ای را مشخص کنید .حل : این فضای نمونه ای نامتناهی ولیکن شمارا است . چنین فضای نمونه ای را فضای نمونه ای گسسته نامیم .اما مثال های ۱ تا ۵ ، دارای فضای نمونه ای متناهی می باشند .۷- فرض کنید فضای نمونه ای عبارتست از : اندازه گیری طول عمر یک لامپ بنابراین داریم:A: پیشامد این که عمر یک لامپ حداقل ۱۰۰ ساعت باشدB: پیشامد آن است که عمر لامپ حداکثر ۱۰۰۰ ساعت باشد C: پیشامد آن است که عمر لامپ دقیقا ۵۰۵ ساعت باشد

اسلاید ۴۰: ۴۰ این فضای نمونه ای ، یک فضای پیوستار است . به عبارت دیگر چنین فضای نمونه ای را ، فضای نمونه از نوع پیوسته گوییم .

اسلاید ۴۱: ۴۱فضای نمونه پیوسته وقتی رخ می دهد که برآمدهای آزمایش ها ،اندازه گیری هایی با ویژگی های فیزیکی هستند که بر طبق مقیاس های پیوسته اندازه گیری می شوند . مانند : طول ، دما و …می توانیم بر اساس پیشامد ها ، ترکیبی از پیشامد ها را داشتهباشیم.

اسلاید ۴۲: ۴۲ترکیب پیشامدها ۱- مکمل( متمم) : مکمل پیشامد یعنی وقتی رخ می دهد که پیشامد رخ ندهد .۲- اجتماع : اجتماع دو پیشامد یعنی پیشامدی است که وقتی رخ دهد که حداقل یکی رخ دهد .۳- اشتراک : اشتراک دو پیشامد یعنی ( یا ) وقتی رخ می دهد که هر دو رخ دهند .

اسلاید ۴۳: ۴۳۴- زیر پیشامد : پیشامد را زیرمجموعه ی گوئیم اگر رخ دادن مستلزم رخ دادن باشد .۵- ناسازگاری : دو پیشامد را ناسازگار گوییم هرگاه با هم رخ ندهند . یعنی : ۶- تعمیم : مجموعه ی پیشامدهای را دوبدو ناسازگار گوییم هرگاه :

اسلاید ۴۴: ۴۴۷- پیشامد مطمئن : پیش آمدی که یقینا رخ دهد .۸- پیشامد ناممکن : پیشامدی که یقینا رخ ندهد .۹- تساوی : دو پیشامد را برابر گوییم ، هر گاه رخ دادن یکی مستلزم رخ دادن دیگری باشد .

اسلاید ۴۵: ۴۵نمادها قوانین دمورگان مثال :فرض کنید فرود هواپیماها بر اساس نظام سرویس دهی به ترتیب فرود می باشد . پیشامدهای را به صورت زیر تعریف می کنیم :منتظر ماندن حداکثر۳هواپیما :منتظر ماندن حداقل۲هواپیما : منتظر ماندن دقیقا۲هواپیما : در این صورت تعریف کنید:الف. ؟ ب. ؟ ج. چه رابطه ای بین وجود دارد ؟د. چه رابطه ای بین وجود دارد ؟ هـ. چه رابطه ای دارند ؟

اسلاید ۴۶: ۴۶حل :پیشامد های زیررا تعریف می کنیم:الف. پیشامد منتظر ماندن حداکثر۳هواپیماب. پیشامد منتظر ماندن حداقل۴هواپیماج. د. ناسازگارند هـ. ناسازگارند اکنون آماده ایم تا اصول موضوع احتمال را بیان کنیم .

اسلاید ۴۷: ۴۷اصول موضوع احتمال فرض می کنیم S فضای نمونه ای یک آزمایش باشد . به هر پیشامد A از S عددی به نام احتمال وقوع A که با نماد p(A) نشان می دهیم ، نسبت داده که در اصول موضوع زیر صدق می کند .۱) ۲) ۳) اگر دنباله ای از پیشامدهای دو به دو ناسازگار باشندآن گاه :

اسلاید ۴۸: ۴۸مثال :سکه ی نااریبی را پرتاب می کنیم . از آن جایی که سکه نااریب است ، بنابراین احتمال آمدن شیر و خط با هم برابر است . در پرتاب این سکه فضای نمونه ای برابر است با : چون وقوع پیشامدهای با هم برابرند در این صورت گوییم این دو پیشامد هم احتمالند و می نویسیم :از طرفی این دو پیشامد ناسازگارند ، پس :

اسلاید ۴۹: ۴۹مثال :فرض کنیم S فضای نمونه ای مربوط به آزمایش سه بار پرتاب یک سکه سالم باشد . فرض می کنیم پیشامد A پیشامد آمدن حداقل دو شیر باشد . پس :با توجه به اینکه سکه سالم فرض شده است ، نتیجه می گیریم احتمال رخ دادن پیشامدها با هم برابرند .

اسلاید ۵۰: ۵۰ یعنی هر یک از برآوردهای فضای نمونه ایبه همین ترتیب در مورد پیشامد A احتمال هر یک از پیشامدها برابرمی شود . بنابراین :با توجه به مثالهای بالا ، نتیجه می گیریم :به طور کلی اگر فضای نمونه ای S شامل N برآمد باشد و A پیشامدی از آن با n(A) برآمد باشد ، آن گاه :

اسلاید ۵۱: ۵۱مثال :فرض کنید برآمدهای یک آزمایش باشد که تعداد آن ها نامتناهی است ، تحقیق کنید آیا می تواند یک اندازه احتمال قابل قبول باشد .حل : می دانیم که:بنا بر اصل ۱ باید که برای این مثال برقرار است.از طرفی باید در اینجا داریم: بنا براین می تواند یک اندازه قابل قبول باشد.

اسلاید ۵۲: ۵۲قضایا : داریم : ۱)اگر داشته باشیم :

اسلاید ۵۳: ۵۳اگر داشته باشیم : ۲) اگر آن گاه : A B

اسلاید ۵۴: ۵۴نتیجه :اگر آن گاه : چون قضیه :۳) در صورتی که Aو B ناسازگار باشند ، آن گاه :

اسلاید ۵۵: ۵۵داریم :با توجه به اینکه سمت راست ناسازگارند ، داریم :از طرفی پس طبق قضیه قبل :این قضیه را می توانیم برای n پیشامد تعمیم دهیم . مثلا برای ۳ پیشامد :

اسلاید ۵۶: ۵۶مثال :فرض کنید ۲۵% مردم یک شهر روزنامه A و ۲۰% روزنامه B و ۱۳% روزنامه C و ۱۰% روزنامه های A,B و ۸% روزنامه های A,C و ۵% روزنامه های B,C و ۴% همه ی روزنامه ها را می خوانند . احتمال این که شخصی به تصادف از بین مردم این شهر انتخاب شود و هیچ یک از این روزنامه ها را نخواند چقدر است ؟

اسلاید ۵۷: ۵۷حل :فرض می کنیم E و F و G به ترتیب پیشامدهای خواندن روزنامه های A ، B و C باشند . پس پیشامد آن که شخصی حداقل یکی را بخواند عبارتست از :بنابراین : عبارتست از احتمال این که هیچ یک از روزنامه ها را نخواند .

اسلاید ۵۸: ۵۸احتمال شرطی :فرض کنید پیشامدی مانند B رخ داده است . احتمال وقوع A به شرط B که با نماد p(A|B) نشان می دهیم عبارتست از :داریم 🙁 قانون ضرب احتمال ) به محض آن که A و B مستقل از یکدیگر باشند ، رابطه بالا به صورت ساده ای تبدیل می شود :

اسلاید ۵۹: ۵۹استقلال :پیشامد A را از B مستقل گوییم هر گاه :بدین ترتیب نتیجه می گیریم وقتی A و B مستقل باشند :فرمولهایی که برای جمع و ضرب بیان کردیم ، به صورت زیرخلاصه می کنیم.جمع :(A وB نا سازگار باشند)ضرب :(A وB مستقل باشند)

اسلاید ۶۰: ۶۰مثال :فرض کنید جعبه ای شامل ۱۰ لامپ می باشد که دربین آن ها ۴ لامپ معیوب وجود دارد . دو لامپ پشت سر هم و بدون جایگذاری استخراج می کنیم . احتمال این که هر دو لامپ معیوب باشند چقدر است ؟حل : اولی ناسالم :Aدومی ناسالم :B

اسلاید ۶۱: ۶۱قانون احتمال کل – قضیه بیز : گاهی اوقات به طور مستقیم نمی توانیم احتمال یک پیشامد مانند A را محاسبه کنیم . اما برای پیشامدی مانند B احتمالات و امکان پذیر است . در اینگونه موارد برای محاسبه می توانیم از قضیه مهمی به نام احتمال کل استفاده کنیم .این قضیه به صورت زیر بیان می شود :فرض کنید B پیشامدی باشد به طوری که و آن گاه برای هر پیشامد A از S داریم :

اسلاید ۶۲: ۶۲اثبات :مطابق شکل فرض می کنیم S فضای نمونه ای باشد . داریم :

اسلاید ۶۳: ۶۳مثال :فرض می کنیم برای پیشامدهای A و B داشته باشیم : و و . مطلوب است محاسبهحل :به طور کلی فرض می کنیم فضای نمونه ای S به افراز شده باشد .

اسلاید ۶۴: ۶۴یادآوری : را افرازی برای S گوییم هرگاه :۱) ۲) ۳) در این صورت برای هر پیشامد دلخواه مانند A از S داریم :

اسلاید ۶۵: ۶۵مثال: فرض می کنیم به ترتیب ۳۰% و ۵۰% و ۲۰% محصولات یک تولیدی بوسیله ی سه دستگاه A ، B وC تولید می شود . از طرفی معلوم شده است که به ترتیب ۴% ، ۵% و ۳% این تولیدات ناقص می باشد . اگر محصولی به تصادف انتخاب شود احتمال این که معیوب باشد چقدر است ؟حل :احتمال پیشامد خراب بودن : p(D)

اسلاید ۶۶: ۶۶اکنون ممکن است این سئوال را مطرح کنیم : احتمال آن که محصول انتخابی معیوب باشد و توسط دستگاه B تولید شده باشد چقدر است ؟ دراین حالت در حقیقت می خواهیم p(B|D) را مورد نظر قرار دهیم دراین حالت از قضیه ی موسوم به قضیه بیز استفاده می کنیم .

اسلاید ۶۷: ۶۷قضیه بیز : فرض کنید افرازی از S باشد به طوریکه به ازاء . باشد.آنگاه برای هر پیشامد دلخواه A ازS داریم :اثبات :

اسلاید ۶۸: ۶۸مثال :۱- برای مثال قبل مطلوب است احتمال اینکه محصولی که به تصادف انتخاب می شود و معیوب است ، متعلق به دستگاه C باشد .حل :

اسلاید ۶۹: ۶۹۲- فرض کنید می دانیم۸۰% دانشجویان سال سوم و۷۰% دانشجویان سال دوم و۵۰% دانشجویان سال اول و۳۰% دانشجویان پیش دانشگاهی ازکتابخانه استفاده می کنند. اگرازهمه ی دانشجویان ۳۰% پیش دانشگاهی ، ۲۵% سال اول ، ۲۵% سال دوم و۲۰% سال سوم باشند ، در اینصورت چند درصد همه ی دانشجویان از کتابخانه ی مرکزی استفاده می کنند ؟

اسلاید ۷۰: ۷۰حل :دانشجویی که به تصادف انتخاب می شود و از کتابخانه ی مرکزی استفاده می کند :A پیش دانشگاهی : F سال اول :O سال دوم :J سال سوم :E

اسلاید ۷۱: ۷۱آنالیز ترکیبی : مجموعه روش ها و تکنیک هایی که برای شمارش بکار می روند ، موضوع آنالیز ترکیبی را تشکیل می دهند .یکی از موضوعات اساسی در آنالیز ترکیبی اصل های جمع و ضرب است که در عین سادگی اهمیت و کاربرد دارند . بعد از این دو اصل ، موضوع ترتیب و ترکیب از موضوعات پرکاربردند که ما در این قسمت خلاصه ای از آن ها را بیان می کنیم .اصل جمعاگر یک عمل به m طریق و عمل دیگر به n طریق انجام شود ، در این صورت یکی از دو عمل را می توان به m+n طریق انجام داد .

اسلاید ۷۲: ۷۲بیان ریاضی اصل جمع :فرض کنید مجموعه A دارای n عضور و مجموعه B دارای m عضو باشد . اگر در این صورت دارای n+m عضو خواهد بود .تعمیم اصل جمعاگر عمل به صورت ، عمل به صورت و … و عمل به صورت امکان پذیر باشد ، آن گاه انجام یکی از این اعمال به صورت امکان پذیر است .

اسلاید ۷۳: ۷۳اصل ضرب فرض کنید عملی در دو مرحله انجام می پذیرد . به طوری که مرحله اول را به صورت و مرحله دوم به صورت انجام داد . در این صورت آن عمل به صورت امکان می پذیرد .همین طور می توان اصل ضرب را تعمیم داد و بیان کرد : اگر عملی در k مرحله انجام شود ، به طوریکه مرحله اول صورت و … و مرحله k ام صورت انجام شود در این صورت این عمل به صورت انجام می گیرد .

اسلاید ۷۴: ۷۴مثال :برای انتخاب دو کتاب از دو رشته مختلف از بین ۶ کتاب ریاضی ، ۷ کتاب ادبی ، ۱۲ کتاب فلسفی انتخاب می کنیم . چند انتخاب متفاوت خواهیم داشت ؟

اسلاید ۷۵: ۷۵حل :کتاب ها ممکن است به صورت های: الف. ریاضی و ادبیب. ریاضی و فلسفی ج. ادبی و فلسفی باشند ، که با توجه به بیان اصل ضرب خواهیم داشت :الف. ریاضی و ادبی ۴۲=۷×۶ب. ریاضی و فلسفی۷۲=۱۲×۶ج. ادبی و فلسفی ۸۴=۱۲×۷و بنابر اصل جمع در کل تعداد انتخاب ها برابر است با : ۱۹۸=۸۴+۷۲+۴۲

اسلاید ۷۶: ۷۶ترتیب هدف ما از ترتیب ، انتخاب گروه های k تایی از میان n عضو متمایز است : به طوری که باشد . مثل انتخاب گروه های ۳ تایی از میان ۵ عدد ۲و۴و۵و۷و۹ به طوری که ارقام تکراری نباشند .ترتیب n شیء r به r اگر n و r اعداد طبیعی باشند و آن گاه :این قضیه برای انتخاب گروه های r تایی مرتب از n شیء متمایز است .لازم به ذکر است که تمایز در این جا به این معناست که۱) مجموعه اشیاء بکار رفته متمایز باشند۲) ترتیب قرار گرفتن اشیاء متفاوت باشد .

اسلاید ۷۷: ۷۷ترکیببرای انتخاب r شیء متمایز از n شیء متمایز از ترکیب استفاده می کنیم.لازم است که یادآور شویم که تمایز در ترکیب فقط به این معناست که مجموعه اشیائی که بکار رفته متمایز باشند .ترکیب n شیء r به r به ازای اعداد طبیعی n و r ، داریم :ویژگی های ترکیب n شیء r به r 1- 2- 3-

اسلاید ۷۸: ۷۸ فصل سوم متغیر های تصادفی و توزیع آنها

اسلاید ۷۹: ۷۹هدف آموزشی فصلدر این فصل ضمن تعریف متغیر تصادفی و بر حسب این که متغیر تصادفی از نوع گسسته یا پیوسته باشد یک قالب احتمال ارائه می شود. تابع چگالی احتمال، تابع توزیع، تابع چگالی احتمال توام، تابع توزیع توام و… از مفاهیم تعریف شده در این فصل می باشد. در پایان نیز با تعریف گشتاورها و تابع مولد احتمال، میانگین واریانس، و برجستگی در جامعه تعریف می شود.

اسلاید ۸۰: ۸۰ متغیرهای تصادفی و توزیع آن ها فرض کنید که X قانونی باشد که اگر سکه ای پرتاب شود و شیر بیاید ، X را برابر یک تعریف کنیم و اگر خط بیاید X را برابر صفر تعریف کنیم تعریف :تابع حقیقی مقدار X را که روی S ( فضای نمونه ای ) تعریف شده است ، یک متغیر تصادفی گوییم .متغیرهای تصادفی را با X ، Y ، Z و … و مقادیر آن ها را با x ، y و … نشان می دهیم .

اسلاید ۸۱: ۸۱مثال : ۱- به جای مثلا ( شیر بیاید ) p می نویسیم :۲- به جای آن که بگوییم ( خط بیاید ) p می نویسیم : به طور کلی اگر بنویسیم یعنی احتمال آنکه X مقدار x را اختیارکند .متغیرهای تصادفی می توانند گسسته یا پیوسته باشند .گسسته وقتی که فضای نمونه ای متناهی یا نامتناهی شمارا باشد .در غیر اینصورت متغیر تصادفی از نوع پیوسته است .

اسلاید ۸۲: ۸۲۱- متغیرهای تصادفی گسسته – توزیع آن ها در حالت گسسته احتمال ها بوسیله ی تابعی به نام تابع احتمال معرفی می شوند که عبارتست از مثلا بنابر اصول موضوع احتمال و به سبب برابری با وقتی یک تابع احتمال است که :۱- در حوزه۲-

اسلاید ۸۳: ۸۳توضیع های احتمال را به صورت های گوناگون میتوان نشان داد:راه اول: به صورت جدول مانند مثال زیر:

اسلاید ۸۴: ۸۴مثال : فرض می کنیم داده های زیررا داشته باشیم،آیا توزیع احتمال برقراراست ؟حل :۱) داریم:اصل اول برقرار است ( )۲) بنابراین ، اصول موضوع برقرار است و پاسخ مثبت است.به این ترتیب یکی از راه های توزیع احتمال به صورت جدول می باشد . مانند مثال فوق .

اسلاید ۸۵: ۸۵راه دوم : به صورت نموداری مانند شکل زیر:

اسلاید ۸۶: ۸۶راه سوم : فرمول ریاضی مانند توجه شود برای سایر مقادیر x که f(x) تعریف نمی شود آن را برابر صفر قرار می دهیم . به این ترتیب می توانیم تابع احتمال بالا را به صورت زیر بنویسید :

اسلاید ۸۷: ۸۷مثال : مقدار c را طوری تعیین کنید تا تابع یک تابع احتمال باشد .حل :۱- پس باید ۲- این رابطه هنگامی برقراراست که سری همگرا باشد . آن را به سری هندسی تبدیل می کنیم .

اسلاید ۸۸: ۸۸مثال : مقدار c را طوری تعیین کنید تا یک تابع احتمال باشدحل :۱- پس ۲- این سری باید همگرا باشد .اما این سری هارمونیک و واگرا است . پس این تابع به ازاء هیچ مقداری از c نمی تواند تابع احتمال باشد .

اسلاید ۸۹: ۸۹تابع توزیع گاهی اوقات مایلیم احتمالاتی به صورت را محاسبه کنیم . در حالت کلی این احتمالات تابعی از x می باشد . که آن را تابع توزیع x می نامیم و با نشان می دهیم .بنابراین می توانیم بنویسیم : مثال : اگر تابع احتمال X به صورت زیر باشد ، F(2) را بدست آورید .حل :

اسلاید ۹۰: ۹۰خصوصیات تابع توزیع ۱- F(x) تابعی غیر نزولی است .۲- شکل F(x) تابعی پله ای شکل است .۳- و پس :

اسلاید ۹۱: ۹۱امید ریاضی تعریف : امید ریاضی ( مقدار مورد انتظار ) متغیر تصادفی X با تابع احتمال f(x) در صورت وجود عبارتست از :این امید ریاضی را میانگین X می نامیم و با یا نشان می دهیم .مثال : فرض کنید تابع احتمال X عبارتست از : . امید ریاضی X را